Номер 33.37, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.37, страница 214.

33.37. a) $$\begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75. \end{cases}$$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 0 \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = -u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + (-u)^2 = \frac{1}{2}$

$u^2 + u^2 = \frac{1}{2}$

$2u^2 = \frac{1}{2}$

$u^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим два возможных значения для $u$: $u_1 = \frac{1}{2}$ и $u_2 = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. $u = \frac{1}{2}$.

Тогда $v = -u = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = -\frac{1}{2}$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2. $u = -\frac{1}{2}$.

Тогда $v = -u = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right)$,
$\left( (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l \right)$, где $n, k, m, l \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 0,25$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:

$$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 0,5 \\ a^2 + b^2 = 0,25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 0,5 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (0,5 - a)^2 = 0,25$

$a^2 + 0,25 - a + a^2 = 0,25$

$2a^2 - a = 0$

$a(2a - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a_1 = 0$ и $a_2 = 0,5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. $a = 0$.

Тогда $b = 0,5 - a = 0,5$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 0$ и $\cos y = 0,5$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2. $a = 0,5$.

Тогда $b = 0,5 - a = 0$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 0,5$ и $\cos y = 0$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right)$,
$\left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m; \frac{\pi}{2} + \pi l \right)$, где $n, k, m, l \in \mathbb{Z}$.