Номер 33.33, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.33, страница 214.

Решите систему уравнений:

33.33. a) $\log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0,$

$9 x^2 y - x y^2 = 1;$

б) $2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0,$

$xy + \frac{x^2}{y} = 28.$

а)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0, \\ 9x^2y - xy^2 = 1; \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0$.

Это уравнение является однородным квадратным уравнением относительно переменных $\log_2 y$ и $\log_2 x$. Сделаем замену: пусть $a = \log_2 y$ и $b = \log_2 x$.

Уравнение принимает вид: $a^2 + ab - 2b^2 = 0$.

Заметим, что если $b = \log_2 x = 0$, то $x=1$. Тогда из уравнения $a^2=0$, то есть $a = \log_2 y = 0$, что означает $y=1$. Подставив пару $(1, 1)$ во второе уравнение, получим $9(1)^2(1) - 1(1)^2 = 8 \ne 1$. Следовательно, $b \ne 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители: $(a-b)(a+2b)=0$.

Отсюда следует, что либо $a-b=0$, либо $a+2b=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. $a - b = 0 \implies a = b$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_2 y = \log_2 x$. Отсюда $y = x$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$9x^2(x) - x(x)^2 = 1$

$9x^3 - x^3 = 1$

$8x^3 = 1 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.

Так как $y=x$, то $y=\frac{1}{2}$. Получили решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2. $a + 2b = 0 \implies a = -2b$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_2 y = -2\log_2 x = \log_2(x^{-2})$. Отсюда $y = \frac{1}{x^2}$.

Подставим $y = \frac{1}{x^2}$ во второе уравнение системы:

$9x^2\left(\frac{1}{x^2}\right) - x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 1$

$9 - x \cdot \frac{1}{x^4} = 1$

$9 - \frac{1}{x^3} = 1 \implies \frac{1}{x^3} = 8 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.

Найдем $y$: $y = \frac{1}{(1/2)^2} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Получили решение $(\frac{1}{2}, 4)$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, 4)$.

б)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0, \\ xy + \frac{x^2}{y} = 28. \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$ (так как $y$ также находится в знаменателе).

Рассмотрим первое уравнение: $2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0$.

Это однородное квадратное уравнение относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$. Сделаем замену: пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$.

Уравнение принимает вид: $2a^2 + ab - b^2 = 0$.

Если $a = \log_3 x = 0$, то $x=1$. Тогда из уравнения $-b^2=0$, то есть $b = \log_3 y = 0$, что означает $y=1$. Подставив пару $(1, 1)$ во второе уравнение, получим $1 \cdot 1 + \frac{1^2}{1} = 2 \ne 28$. Следовательно, $a \ne 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители: $(2a-b)(a+b)=0$.

Отсюда следует, что либо $2a-b=0$, либо $a+b=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. $2a - b = 0 \implies b = 2a$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_3 y = 2\log_3 x = \log_3(x^2)$. Отсюда $y = x^2$.

Подставим $y=x^2$ во второе уравнение системы:

$x(x^2) + \frac{x^2}{x^2} = 28$

$x^3 + 1 = 28$

$x^3 = 27 \implies x = 3$.

Тогда $y = x^2 = 3^2 = 9$. Получили решение $(3, 9)$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2. $a + b = 0 \implies b = -a$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_3 y = -\log_3 x = \log_3(x^{-1})$. Отсюда $y = \frac{1}{x}$.

Подставим $y = \frac{1}{x}$ во второе уравнение системы:

$x\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2}{1/x} = 28$

$1 + x^3 = 28$

$x^3 = 27 \implies x = 3$.

Найдем $y$: $y = \frac{1}{3}$.

Получили решение $(3, \frac{1}{3})$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 9), (3, \frac{1}{3})$.