Номер 33.29, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.29, страница 213.

33.29. a) $\left\{ \begin{array}{l} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{array} \right.$

а)Решим систему уравнений:$\begin{cases}2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5;\end{cases}$
Сначала преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 2.
Мы знаем, что $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$ и $512 = 2^9$.
Подставим эти значения в первое уравнение:
$2^x \cdot (2^{-2})^{-y} = 2^9$
$2^x \cdot 2^{2y} = 2^9$
$2^{x+2y} = 2^9$
Приравнивая показатели степени, получаем линейное уравнение:
$x + 2y = 9$
Теперь система имеет вид:$\begin{cases}x + 2y = 9, \\\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5;\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 9 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sqrt{9 - 2y} + 2\sqrt{y} = 5$
Уединим один из корней:
$\sqrt{9 - 2y} = 5 - 2\sqrt{y}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{9 - 2y})^2 = (5 - 2\sqrt{y})^2$
$9 - 2y = 25 - 20\sqrt{y} + 4y$
Приведем подобные слагаемые и выразим член с корнем:
$20\sqrt{y} = 25 - 9 + 4y + 2y$
$20\sqrt{y} = 16 + 6y$
Разделим обе части на 2 для упрощения:
$10\sqrt{y} = 8 + 3y$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{y}$, при этом $t \ge 0$.
$10t = 8 + 3t^2$
Получаем квадратное уравнение:
$3t^2 - 10t + 8 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
1) Если $t = 2$, то $\sqrt{y} = 2$, откуда $y = 4$.
Найдем $x$: $x = 9 - 2y = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.
Получили пару $(1, 4)$. Проверим по ОДЗ: $1 \ge 0$ и $4 \ge 0$. Верно.
2) Если $t = \frac{4}{3}$, то $\sqrt{y} = \frac{4}{3}$, откуда $y = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
Найдем $x$: $x = 9 - 2y = 9 - 2 \cdot \frac{16}{9} = 9 - \frac{32}{9} = \frac{81-32}{9} = \frac{49}{9}$.
Получили пару $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$. Проверим по ОДЗ: $\frac{49}{9} \ge 0$ и $\frac{16}{9} \ge 0$. Верно.
Обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(1, 4)$, $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

б)Решим систему уравнений:$\begin{cases}9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1.\end{cases}$
Преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 3.
Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $729 = 3^6$.
Подставим эти значения в первое уравнение:
$(3^2)^x \cdot 3^{y-3} = 3^6$
$3^{2x} \cdot 3^{y-3} = 3^6$
$3^{2x+y-3} = 3^6$
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x + y - 3 = 6$
$2x + y = 9$
Теперь система имеет вид:$\begin{cases}2x + y = 9, \\\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1.\end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$.
Тогда $x = u^2$ и $y = v^2$.
Подставим это в систему:$\begin{cases}2u^2 + v^2 = 9, \\u - v = 1.\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $u$: $u = 1 + v$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(1+v)^2 + v^2 = 9$
$2(1 + 2v + v^2) + v^2 = 9$
$2 + 4v + 2v^2 + v^2 = 9$
$3v^2 + 4v - 7 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение для $v$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
Так как по условию замены $v = \sqrt{y} \ge 0$, корень $v_2 = -\frac{7}{3}$ является посторонним.
Остается единственное решение $v=1$.
Найдем $u$: $u = 1 + v = 1 + 1 = 2$.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$\sqrt{x} = u = 2 \Rightarrow x = 4$
$\sqrt{y} = v = 1 \Rightarrow y = 1$
Получили пару $(4, 1)$. Проверим по ОДЗ: $4 \ge 0$ и $1 \ge 0$. Верно.
Ответ: $(4, 1)$.