Номер 33.35, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.35, страница 214.

Решите систему уравнений:

33.35. a) $\begin{cases} \text{tg}^2 x + \sin y = 2, \\ 3 \sin y + \text{tg}^2 x = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos (x + y) + \sin xy = 1, \\ 2 \sin xy + \cos (x + y) = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ \sin x = y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2 \sin (x + y) - 3 \cos (x - y) = 5, \\ 7 \cos (x - y) + 5 \sin (x + y) = -2; \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \text{tg}^2 x + \sin y = 2, \\ 3 \sin y + \text{tg}^2 x = 0; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = \text{tg}^2 x$ и $v = \sin y$. Так как $u$ является квадратом тангенса, $u \ge 0$. Так как $v$ является синусом, $-1 \le v \le 1$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 2, \\ u + 3v = 0; \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(u + 3v) - (u + v) = 0 - 2$

$2v = -2$

$v = -1$

Подставим значение $v$ в первое уравнение:

$u + (-1) = 2$

$u = 3$

Получили $u = 3$ и $v = -1$. Проверим условия для переменных: $u = 3 \ge 0$ и $-1 \le v = -1 \le 1$. Условия выполняются.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Из $u = \text{tg}^2 x = 3$ следует, что $\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$. Это дает два семейства решений для $x$, которые можно объединить в одну запись: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Из $v = \sin y = -1$ следует, что $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \cos(x+y) + \sin(xy) = 1, \\ 2\sin(xy) + \cos(x+y) = -1; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \cos(x+y)$ и $b = \sin(xy)$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 1, \\ a + 2b = -1; \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a + 2b) - (a + b) = -1 - 1$

$b = -2$

Подставим значение $b$ в первое уравнение:

$a + (-2) = 1$

$a = 3$

Таким образом, мы получили, что $\cos(x+y) = 3$ и $\sin(xy) = -2$.

Однако, область значений функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

Поскольку $3 \notin [-1, 1]$ и $-2 \notin [-1, 1]$, то уравнения $\cos(x+y) = 3$ и $\sin(xy) = -2$ не имеют действительных решений.

Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ \sin x = y; \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое, заменив $y$ на $\sin x$:

$\sin x - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Рассмотрим области значений левой и правой частей этого уравнения.

Левая часть: $\sin x - 1$. Поскольку область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений выражения $\sin x - 1$ — это отрезок $[-1-1, 1-1]$, то есть $[-2, 0]$.

Правая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^x$. Это показательная функция, область значений которой — все положительные действительные числа, то есть $(0, +\infty)$.

Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы левая и правая части были равны. Однако левая часть всегда неположительна ($\le 0$), а правая часть всегда строго положительна ($> 0$).

Таким образом, равенство невозможно ни при каком значении $x$. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\sin(x+y) - 3\cos(x-y) = 5, \\ 7\cos(x-y) + 5\sin(x+y) = -2; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sin(x+y)$ и $b = \cos(x-y)$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} 2a - 3b = 5, \\ 5a + 7b = -2; \end{cases} $$

Решим эту линейную систему. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 10a - 15b = 25, \\ -10a - 14b = 4; \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(10a - 15b) + (-10a - 14b) = 25 + 4$

$-29b = 29$

$b = -1$

Подставим значение $b = -1$ в первое уравнение ($2a - 3b = 5$):

$2a - 3(-1) = 5$

$2a + 3 = 5$

$2a = 2$

$a = 1$

Таким образом, мы получили $a = \sin(x+y) = 1$ и $b = \cos(x-y) = -1$. Вернемся к переменным $x$ и $y$.

$$ \begin{cases} \sin(x+y) = 1, \\ \cos(x-y) = -1; \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем: $x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем: $x-y = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \\ x-y = \pi + 2\pi n; \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$2x = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) + (\pi + 2\pi n) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(k+n)$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi(k+n)$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) - (\pi + 2\pi n) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k-n)$

$y = -\frac{\pi}{4} + \pi(k-n)$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi(k+n), \quad y = -\frac{\pi}{4} + \pi(k-n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.