Номер 33.40, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.40, страница 215.

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:

33.40. a) $ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3, \\ 2x - 3y + z = 8, \\ -x + y - 5z = -8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13, \\ x + 3y - 2z = 5, \\ 2x - 2y + 5z = -6. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3, & (1) \\ 2x - 3y + z = 8, & (2) \\ -x + y - 5z = -8; & (3) \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Сначала исключим переменную $x$.

1. Сложим уравнение (1) и уравнение (3):

$(x + 2y - 3z) + (-x + y - 5z) = -3 + (-8)$

$3y - 8z = -11$ (4)

2. Умножим уравнение (1) на -2 и сложим с уравнением (2):

$-2(x + 2y - 3z) = -2(-3) \implies -2x - 4y + 6z = 6$

$(-2x - 4y + 6z) + (2x - 3y + z) = 6 + 8$

$-7y + 7z = 14$

Разделим обе части полученного уравнения на -7:

$y - z = -2$ (5)

3. Теперь решим систему из двух уравнений (4) и (5) с двумя переменными:

$ \begin{cases} 3y - 8z = -11, & (4) \\ y - z = -2. & (5) \end{cases} $

Из уравнения (5) выразим $y$ через $z$:

$y = z - 2$

Подставим это выражение в уравнение (4):

$3(z - 2) - 8z = -11$

$3z - 6 - 8z = -11$

$-5z = -5$

$z = 1$

4. Найдем значение $y$, подставив $z = 1$ в выражение $y = z - 2$:

$y = 1 - 2 = -1$

5. Найдем значение $x$, подставив $y = -1$ и $z = 1$ в исходное уравнение (1):

$x + 2(-1) - 3(1) = -3$

$x - 2 - 3 = -3$

$x - 5 = -3$

$x = 2$

Решение системы: $(2; -1; 1)$.

Ответ: $(2; -1; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13, & (1) \\ x + 3y - 2z = 5, & (2) \\ 2x - 2y + 5z = -6. & (3) \end{cases} $

Исключим переменную $x$, используя уравнение (2).

1. Умножим уравнение (2) на -3 и сложим с уравнением (1):

$-3(x + 3y - 2z) = -3(5) \implies -3x - 9y + 6z = -15$

$(-3x - 9y + 6z) + (3x - 5y + z) = -15 + (-13)$

$-14y + 7z = -28$

Разделим обе части на -7:

$2y - z = 4$ (4)

2. Умножим уравнение (2) на -2 и сложим с уравнением (3):

$-2(x + 3y - 2z) = -2(5) \implies -2x - 6y + 4z = -10$

$(-2x - 6y + 4z) + (2x - 2y + 5z) = -10 + (-6)$

$-8y + 9z = -16$ (5)

3. Решим систему из уравнений (4) и (5):

$ \begin{cases} 2y - z = 4, & (4) \\ -8y + 9z = -16. & (5) \end{cases} $

Из уравнения (4) выразим $z$:

$z = 2y - 4$

Подставим это выражение в уравнение (5):

$-8y + 9(2y - 4) = -16$

$-8y + 18y - 36 = -16$

$10y = 20$

$y = 2$

4. Найдем значение $z$, подставив $y=2$ в выражение $z = 2y - 4$:

$z = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

5. Найдем значение $x$, подставив $y = 2$ и $z = 0$ в исходное уравнение (2):

$x + 3(2) - 2(0) = 5$

$x + 6 - 0 = 5$

$x = -1$

Решение системы: $(-1; 2; 0)$.

Ответ: $(-1; 2; 0)$.