Номер 34.1, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.1, страница 216.

34.1. При каких значениях параметра $m$ уравнение $mx - x + 1 = m^2$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Исходное уравнение: $mx - x + 1 = m^2$.

Для решения данного уравнения с параметром, преобразуем его, сгруппировав члены с переменной $x$ в левой части, а остальные члены перенеся в правую часть:

$mx - x = m^2 - 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(m - 1) = m^2 - 1$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где $A = m - 1$ и $B = m^2 - 1$. Количество решений такого уравнения зависит от значений коэффициента $A$ и свободного члена $B$.

Заметим, что правую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x(m - 1) = (m - 1)(m + 1)$

Теперь проанализируем это уравнение для каждого из заданных условий.

а) имеет ровно один корень;

Линейное уравнение $Ax = B$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $A \neq 0$.

В нашем случае это означает, что:

$m - 1 \neq 0$

$m \neq 1$

Если $m \neq 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $(m - 1)$, чтобы найти единственный корень:

$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$

$x = m + 1$

Таким образом, при любом значении $m$, кроме $m = 1$, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: при $m \neq 1$.

б) не имеет корней;

Линейное уравнение $Ax = B$ не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($A = 0$), а правая часть не равна нулю ($B \neq 0$). Это приводит к равенству вида $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$, что невозможно.

Применим эти условия к нашему уравнению:

$\begin{cases} m - 1 = 0 \\ (m - 1)(m + 1) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $m = 1$. Подставим это значение во второе условие:

$(1 - 1)(1 + 1) = 0 \cdot 2 = 0$

Мы получили, что правая часть равна нулю, что противоречит условию $(m - 1)(m + 1) \neq 0$. Следовательно, не существует таких значений параметра $m$, при которых коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть отлична от нуля.

Ответ: таких значений $m$ не существует.

в) имеет более одного корня?

Линейное уравнение $Ax = B$ имеет бесконечно много корней (что удовлетворяет условию "более одного"), когда и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($A = 0$ и $B = 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Применим эти условия к нашему уравнению:

$\begin{cases} m - 1 = 0 \\ (m - 1)(m + 1) = 0 \end{cases}$

Первое уравнение дает $m = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $(1 - 1)(1 + 1) = 0$, что является верным равенством.

Следовательно, при $m = 1$ оба условия выполняются. Исходное уравнение принимает вид $x(1-1) = 1^2 - 1$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Значит, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: при $m = 1$.