Страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.1. При каких значениях параметра $m$ уравнение $mx - x + 1 = m^2$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Исходное уравнение: $mx - x + 1 = m^2$.

Для решения данного уравнения с параметром, преобразуем его, сгруппировав члены с переменной $x$ в левой части, а остальные члены перенеся в правую часть:

$mx - x = m^2 - 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(m - 1) = m^2 - 1$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где $A = m - 1$ и $B = m^2 - 1$. Количество решений такого уравнения зависит от значений коэффициента $A$ и свободного члена $B$.

Заметим, что правую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x(m - 1) = (m - 1)(m + 1)$

Теперь проанализируем это уравнение для каждого из заданных условий.

а) имеет ровно один корень;

Линейное уравнение $Ax = B$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $A \neq 0$.

В нашем случае это означает, что:

$m - 1 \neq 0$

$m \neq 1$

Если $m \neq 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $(m - 1)$, чтобы найти единственный корень:

$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$

$x = m + 1$

Таким образом, при любом значении $m$, кроме $m = 1$, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: при $m \neq 1$.

б) не имеет корней;

Линейное уравнение $Ax = B$ не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($A = 0$), а правая часть не равна нулю ($B \neq 0$). Это приводит к равенству вида $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$, что невозможно.

Применим эти условия к нашему уравнению:

$\begin{cases} m - 1 = 0 \\ (m - 1)(m + 1) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $m = 1$. Подставим это значение во второе условие:

$(1 - 1)(1 + 1) = 0 \cdot 2 = 0$

Мы получили, что правая часть равна нулю, что противоречит условию $(m - 1)(m + 1) \neq 0$. Следовательно, не существует таких значений параметра $m$, при которых коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть отлична от нуля.

Ответ: таких значений $m$ не существует.

в) имеет более одного корня?

Линейное уравнение $Ax = B$ имеет бесконечно много корней (что удовлетворяет условию "более одного"), когда и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($A = 0$ и $B = 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Применим эти условия к нашему уравнению:

$\begin{cases} m - 1 = 0 \\ (m - 1)(m + 1) = 0 \end{cases}$

Первое уравнение дает $m = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение: $(1 - 1)(1 + 1) = 0$, что является верным равенством.

Следовательно, при $m = 1$ оба условия выполняются. Исходное уравнение принимает вид $x(1-1) = 1^2 - 1$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Значит, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: при $m = 1$.

34.2. При каких значениях параметра b уравнение $b^2x - x + 2 = b^2 + b$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Для решения задачи преобразуем данное уравнение к стандартному линейному виду $Ax = B$.

Исходное уравнение: $b^2x - x + 2 = b^2 + b$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а остальные — в правую:

$b^2x - x = b^2 + b - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$(b^2 - 1)x = b^2 + b - 2$

Это линейное уравнение относительно $x$ с коэффициентом $A = b^2 - 1$ и свободным членом $B = b^2 + b - 2$. Количество решений зависит от значений $A$ и $B$.

Разложим выражения для $A$ и $B$ на множители для удобства анализа:

$A = b^2 - 1 = (b-1)(b+1)$

$B = b^2 + b - 2$. Найдем корни квадратного трехчлена $b^2 + b - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$. Следовательно, $B = (b-1)(b+2)$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(b-1)(b+1)x = (b-1)(b+2)$

Рассмотрим условия для каждого из пунктов.

а) имеет ровно один корень;

Линейное уравнение имеет ровно один корень, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $A \neq 0$.

$b^2 - 1 \neq 0$

$(b-1)(b+1) \neq 0$

Это неравенство выполняется, если $b-1 \neq 0$ и $b+1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

При этих значениях $b$ уравнение имеет единственный корень $x = \frac{B}{A} = \frac{(b-1)(b+2)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b+2}{b+1}$.

Ответ: уравнение имеет ровно один корень при $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

б) не имеет корней;

Линейное уравнение не имеет корней, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($A=0$), а свободный член не равен нулю ($B \neq 0$).

Условие $A=0$ выполняется, когда $b^2 - 1 = 0$, то есть при $b=1$ или $b=-1$.

Проверим значение $B$ для этих значений $b$:

• При $b = 1$: $B = (1-1)(1+2) = 0 \cdot 3 = 0$. Этот случай не подходит, так как $B$ должно быть не равно нулю.
• При $b = -1$: $B = (-1-1)(-1+2) = (-2) \cdot 1 = -2$. В этом случае $B \neq 0$.

Таким образом, при $b=-1$ мы имеем $A=0$ и $B=-2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, которое не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет корней при $b = -1$.

в) имеет более одного корня?

Линейное уравнение имеет более одного корня (бесконечное множество корней), когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю, то есть $A=0$ и $B=0$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $A=0$ при $b=1$ или $b=-1$. Мы также вычислили значения $B$ для этих случаев:

• При $b = 1$: $A=0$ и $B=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, которое верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.
• При $b = -1$: $A=0$, но $B=-2 \neq 0$. Этот случай не подходит.

Следовательно, уравнение имеет более одного корня только при $b=1$.

Ответ: уравнение имеет более одного корня при $b = 1$.

Решите уравнение (относительно x):

34.3. a) $a^2x - 4x + 2 = a$;

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$.

а) $a^2x - 4x + 2 = a$

Это уравнение является линейным относительно переменной $x$ с параметром $a$. Для его решения сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части, а остальные перенесем в правую.

$a^2x - 4x = a - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(a^2 - 4) = a - 2$

Дальнейшее решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $a^2 - 4$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $a^2 - 4 \neq 0$.

Это условие выполняется, когда $(a - 2)(a + 2) \neq 0$, то есть при $a \neq 2$ и $a \neq -2$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a^2 - 4$ и найти единственное решение:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4}$

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:

$x = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a + 2}$

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $a^2 - 4 = 0$.

Это возможно при $a = 2$ или $a = -2$. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

• Пусть $a = 2$. Подставим это значение в уравнение $x(a^2 - 4) = a - 2$:

  $x(2^2 - 4) = 2 - 2$

  $x \cdot 0 = 0$

  Получено верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от $x$. Это означает, что при $a = 2$ решением уравнения является любое действительное число.

• Пусть $a = -2$. Подставим это значение в уравнение:

  $x((-2)^2 - 4) = -2 - 2$

  $x \cdot 0 = -4$

  Получено неверное равенство $0 = -4$. Это означает, что при $a = -2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a = -2$, то решений нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$

Данное уравнение содержит параметр $a$ в знаменателе, поэтому оно определено только при $a \neq 0$. Если $a=0$, то левая часть уравнения не имеет смысла, следовательно, решений нет.

Рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения:

$\frac{x}{a} + x = a + 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{a} + 1) = a + 1$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x\left(\frac{1 + a}{a}\right) = a + 1$

Решение этого линейного уравнения зависит от коэффициента при $x$, то есть от выражения $\frac{1+a}{a}$.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $\frac{1 + a}{a} \neq 0$.

Так как мы уже установили, что $a \neq 0$, это условие эквивалентно $1 + a \neq 0$, то есть $a \neq -1$. В этом случае (когда $a \neq 0$ и $a \neq -1$) уравнение имеет единственное решение, которое можно найти, разделив обе части на коэффициент при $x$:

$x = \frac{a + 1}{\frac{1 + a}{a}}$

Упростим выражение:

$x = (a + 1) \cdot \frac{a}{1 + a} = a$

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $\frac{1 + a}{a} = 0$.

Это возможно только если числитель равен нулю, то есть $1 + a = 0$, откуда $a = -1$. Подставим это значение в уравнение $x\left(\frac{1 + a}{a}\right) = a + 1$:

$x\left(\frac{1 + (-1)}{-1}\right) = -1 + 1$

$x \cdot \left(\frac{0}{-1}\right) = 0$

$x \cdot 0 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$. Следовательно, при $a = -1$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $a = -1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то $x = a$.

34.4. a) $ \frac{ax - 5 - x}{x^2 - 4} = 0; $

б) $ \frac{ax + 6 - 2x}{x^2 - 9} = 0. $

а)

Исходное уравнение $\frac{ax - 5 - x}{x^2 - 4} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} ax - 5 - x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$ax - x - 5 = 0$

$x(a - 1) = 5$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$, то уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{5}{a-1}$.

2. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a=1$ корней нет.

Теперь решим неравенство из системы (область допустимых значений):

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь необходимо найти значения параметра $a$, при которых корень $x = \frac{5}{a-1}$ совпадает с недопустимыми значениями. Эти значения $a$ нужно будет исключить.

Пусть $x = 2$:

$\frac{5}{a-1} = 2$

$5 = 2(a-1)$

$5 = 2a - 2$

$7 = 2a$

$a = 3.5$

При $a=3.5$ корень числителя $x=2$ обращает знаменатель в ноль, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Пусть $x = -2$:

$\frac{5}{a-1} = -2$

$5 = -2(a-1)$

$5 = -2a + 2$

$3 = -2a$

$a = -1.5$

При $a=-1.5$ корень числителя $x=-2$ также обращает знаменатель в ноль, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=1$, $a=3.5$ и $a=-1.5$. Во всех остальных случаях оно имеет один корень.

Ответ: если $a=1$, $a=-1.5$ или $a=3.5$, то корней нет; если $a \neq 1$, $a \neq -1.5$ и $a \neq 3.5$, то $x = \frac{5}{a-1}$.

б)

Решим уравнение $\frac{ax + 6 - 2x}{x^2 - 9} = 0$. Оно эквивалентно системе:

$\begin{cases} ax + 6 - 2x = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы:

$ax - 2x + 6 = 0$

$x(a - 2) = -6$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{-6}{a-2}$ или $x = \frac{6}{2-a}$.

2. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -6$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a=2$ корней нет.

Теперь рассмотрим второе условие системы:

$x^2 - 9 \neq 0$

$(x-3)(x+3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Найдем значения параметра $a$, при которых корень $x = \frac{6}{2-a}$ совпадает с недопустимыми значениями $x=3$ или $x=-3$.

Пусть $x = 3$:

$\frac{6}{2-a} = 3$

$6 = 3(2-a)$

$6 = 6 - 3a$

$3a = 0$

$a = 0$

При $a=0$ корень числителя $x=3$ совпадает с корнем знаменателя, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Пусть $x = -3$:

$\frac{6}{2-a} = -3$

$6 = -3(2-a)$

$6 = -6 + 3a$

$12 = 3a$

$a = 4$

При $a=4$ корень числителя $x=-3$ также совпадает с корнем знаменателя, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=2$, $a=0$ и $a=4$. Во всех остальных случаях оно имеет один корень.

Ответ: если $a=0$, $a=2$ или $a=4$, то корней нет; если $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq 4$, то $x = \frac{6}{2-a}$.

Решите неравенство (относительно x):

34.5. a) $mx - x + 1 \ge m^2$;

б) $b^2x - x + 1 > b$.

а) $mx - x + 1 \ge m^2$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $m$. Для его решения сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а остальные перенесем в правую:

$mx - x \ge m^2 - 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x(m - 1) \ge m^2 - 1$

Для того чтобы выразить $x$, необходимо разделить обе части неравенства на $(m-1)$. Знак неравенства при этом будет зависеть от знака выражения $(m-1)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Случай 1: $m - 1 > 0$, то есть $m > 1$.
При делении на положительное число $(m-1)$ знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
Используя формулу разности квадратов $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$ и учитывая, что $m-1 \ne 0$, сократим дробь:
$x \ge \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$
$x \ge m + 1$

2. Случай 2: $m - 1 < 0$, то есть $m < 1$.
При делении на отрицательное число $(m-1)$ знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
$x \le m + 1$

3. Случай 3: $m - 1 = 0$, то есть $m = 1$.
Подставим $m=1$ в преобразованное неравенство $x(m - 1) \ge m^2 - 1$:
$x(1 - 1) \ge 1^2 - 1$
$x \cdot 0 \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство является верным и не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.

Ответ: если $m > 1$, то $x \in [m + 1; +\infty)$; если $m < 1$, то $x \in (-\infty; m + 1]$; если $m = 1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $b^2x - x + 1 > b$

Это линейное неравенство относительно $x$ с параметром $b$. Сгруппируем слагаемые с $x$ слева:

$b^2x - x > b - 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(b^2 - 1) > b - 1$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$. Знаки этого выражения определяются положением $b$ относительно корней $b = -1$ и $b = 1$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай 1: $b^2 - 1 > 0$, то есть $b < -1$ или $b > 1$.
При делении на положительное число $(b^2 - 1)$ знак неравенства не меняется.
$x > \frac{b - 1}{b^2 - 1}$
Учитывая, что $b^2-1 = (b-1)(b+1)$ и $b \ne 1$, сокращаем дробь:
$x > \frac{b - 1}{(b - 1)(b + 1)}$
$x > \frac{1}{b + 1}$

2. Случай 2: $b^2 - 1 < 0$, то есть $-1 < b < 1$.
При делении на отрицательное число $(b^2 - 1)$ знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{b - 1}{b^2 - 1}$
$x < \frac{1}{b + 1}$

3. Случай 3: $b^2 - 1 = 0$, то есть $b = 1$ или $b = -1$.
Рассмотрим эти два значения параметра отдельно.

а) При $b = 1$.
Подставляем в неравенство $x(b^2 - 1) > b - 1$:
$x(1^2 - 1) > 1 - 1$
$x \cdot 0 > 0$
$0 > 0$
Получили неверное числовое неравенство. Следовательно, при $b=1$ решений нет.

б) При $b = -1$.
Подставляем в неравенство $x(b^2 - 1) > b - 1$:
$x((-1)^2 - 1) > -1 - 1$
$x \cdot 0 > -2$
$0 > -2$
Получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $b=-1$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $b \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то $x \in (\frac{1}{b+1}; +\infty)$; если $b \in (-1; 1)$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{b+1})$; если $b=1$, то решений нет ($x \in \emptyset$); если $b=-1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

34.6. a) $b^2x - bx \ge b^2 + b - 2;$

б) $\frac{x}{a} + x \le a + 1.$

а) $b^2x - bx \ge b^2 + b - 2$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $b$.

Сначала преобразуем неравенство. Вынесем $x$ за скобки в левой части и разложим на множители правую часть:

$x(b^2 - b) \ge (b+2)(b-1)$

$x \cdot b(b-1) \ge (b+2)(b-1)$

Решение неравенства зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $b(b-1)$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ положителен: $b(b-1) > 0$.

Это условие выполняется, если $b \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на $b(b-1)$, сохраняя знак неравенства:

$x \ge \frac{(b+2)(b-1)}{b(b-1)}$

Поскольку $b \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$x \ge \frac{b+2}{b}$, что равносильно $x \ge 1 + \frac{2}{b}$.

2. Случай, когда коэффициент при $x$ отрицателен: $b(b-1) < 0$.

Это условие выполняется, если $b \in (0, 1)$. В этом случае при делении обеих частей неравенства на $b(b-1)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{(b+2)(b-1)}{b(b-1)}$

$x \le \frac{b+2}{b}$, что равносильно $x \le 1 + \frac{2}{b}$.

3. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $b(b-1) = 0$.

Это происходит при $b=0$ или $b=1$. Рассмотрим эти значения параметра отдельно, подставляя их в исходное неравенство $x \cdot b(b-1) \ge (b+2)(b-1)$.

- Если $b=0$:

$x \cdot 0 \cdot (0-1) \ge (0+2)(0-1)$

$0 \ge -2$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

- Если $b=1$:

$x \cdot 1 \cdot (1-1) \ge (1+2)(1-1)$

$0 \ge 0$

Это неравенство также верно для любого действительного числа $x$.

Ответ:

• При $b \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, решение $x \in [1 + \frac{2}{b}, +\infty)$.
• При $b \in (0, 1)$, решение $x \in (-\infty, 1 + \frac{2}{b}]$.
• При $b = 0$ или $b = 1$, решение $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

б) $\frac{x}{a} + x \le a+1$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $a$.

Область допустимых значений параметра $a$: $a \neq 0$, так как на ноль делить нельзя. Случай $a=0$ рассмотрим отдельно.

При $a \neq 0$ преобразуем неравенство. Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{a} + 1) \le a+1$

$x \cdot \frac{1+a}{a} \le a+1$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $\frac{a+1}{a}$.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ положителен: $\frac{a+1}{a} > 0$.

Это условие выполняется, если $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$. Для решения неравенства умножим обе части на положительное число $\frac{a}{a+1}$ (знак дроби совпадает со знаком исходного коэффициента). Знак неравенства при этом не изменится.

$x \le (a+1) \cdot \frac{a}{a+1}$

$x \le a$

2. Случай, когда коэффициент при $x$ отрицателен: $\frac{a+1}{a} < 0$.

Это условие выполняется, если $a \in (-1, 0)$. В этом случае мы умножаем обе части на отрицательное число $\frac{a}{a+1}$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$x \ge (a+1) \cdot \frac{a}{a+1}$

$x \ge a$

3. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $\frac{a+1}{a} = 0$.

Это происходит при $a+1=0$, то есть $a=-1$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$\frac{x}{-1} + x \le -1+1$

$-x + x \le 0$

$0 \le 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

4. Случай, когда $a=0$.

В этом случае левая часть исходного неравенства $\frac{x}{a} + x \le a+1$ не определена. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Ответ:

• При $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$, решение $x \in (-\infty, a]$.
• При $a \in (-1, 0)$, решение $x \in [a, +\infty)$.
• При $a = -1$, решение $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).
• При $a = 0$, решений нет.

34.7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет ровно один корень;

в) не имеет корней?

Данное уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Количество его корней зависит от значения этого параметра. Для решения задачи необходимо рассмотреть два основных случая.

Случай 1: $a = 0$

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 0 + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

$4x = -5$

$x = - \frac{5}{4}$

В этом случае уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: $a \neq 0$

Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Количество его корней определяется знаком дискриминанта $D$.

Коэффициенты уравнения: старший коэффициент равен $a$, второй коэффициент $b=4$, свободный член $c=-a+5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 5) = 16 - 4a(-a+5) = 16 + 4a^2 - 20a$

Приведем дискриминант к стандартному виду и упростим:

$D = 4a^2 - 20a + 16 = 4(a^2 - 5a + 4)$

Знак дискриминанта зависит от знака выражения в скобках. Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 4 = 0$ относительно переменной $a$. По теореме Виета, его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Следовательно, дискриминант можно представить в виде:

$D = 4(a-1)(a-4)$

Теперь, объединяя оба случая, ответим на вопросы задачи.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Решим неравенство $D > 0$:

$4(a-1)(a-4) > 0$

$(a-1)(a-4) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Необходимо также учесть условие $a \neq 0$. Значение $a=0$ попадает в интервал $(-\infty; 1)$, поэтому его нужно исключить.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня при $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) имеет ровно один корень;

Уравнение имеет ровно один корень в следующих ситуациях:

1. Когда уравнение линейное, то есть при $a=0$. Как мы показали, в этом случае есть один корень $x = -5/4$.
2. Когда уравнение квадратное ($a \neq 0$) и его дискриминант равен нулю ($D=0$).

Найдем значения $a$, при которых $D=0$:

$4(a-1)(a-4) = 0$

Отсюда получаем $a=1$ или $a=4$. Оба этих значения удовлетворяют условию $a \neq 0$.

Объединяя все найденные значения, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a \in \{0, 1, 4\}$.

Ответ: $a \in \{0; 1; 4\}$.

в) не имеет корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант отрицателен ($D < 0$). В случае $a=0$ корень существует, поэтому этот случай не подходит.

Решим неравенство $D < 0$:

$4(a-1)(a-4) < 0$

$(a-1)(a-4) < 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $1 < a < 4$.

На этом интервале условие $a \neq 0$ выполняется автоматически.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a \in (1; 4)$.

Ответ: $a \in (1; 4)$.

34.8. При каких значениях параметра $a$ система уравнений имеет решения:

a) $\begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1, \\ y = 3x + a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2, \\ y = -10x + a? \end{cases}$

a)

Система уравнений имеет решения в том и только в том случае, когда графики функций $y = 2x^2 - 5x + 1$ (парабола) и $y = 3x + a$ (прямая) имеют хотя бы одну общую точку. Координаты общих точек удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$2x^2 - 5x + 1 = 3x + a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$2x^2 - 5x - 3x + 1 - a = 0$

$2x^2 - 8x + (1 - a) = 0$

Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ будет неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=2$, $B=-8$, $C=1-a$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 64 - 8(1 - a) = 64 - 8 + 8a = 56 + 8a$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$56 + 8a \ge 0$

$8a \ge -56$

$a \ge \frac{-56}{8}$

$a \ge -7$

Таким образом, система уравнений имеет решения при всех значениях $a$, удовлетворяющих этому условию.

Ответ: $a \in [-7; +\infty)$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Система имеет решения, если графики функций $y = 3x^2 - 4x - 2$ и $y = -10x + a$ пересекаются. Приравняем правые части уравнений:

$3x^2 - 4x - 2 = -10x + a$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3x^2 - 4x + 10x - 2 - a = 0$

$3x^2 + 6x - (2 + a) = 0$

Это уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D \ge 0$. В этом уравнении коэффициенты: $A=3$, $B=6$, $C=-(2+a)$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(2 + a)) = 36 - 12 \cdot (-2 - a) = 36 + 24 + 12a = 60 + 12a$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$60 + 12a \ge 0$

$12a \ge -60$

$a \ge \frac{-60}{12}$

$a \ge -5$

Следовательно, система уравнений имеет решения при $a \ge -5$.

Ответ: $a \in [-5; +\infty)$.

34.9. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра b, при котором уравнение имеет два корня:

a) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0.$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + Bx + C = 0$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = B^2 - 4aC$ строго больше нуля ($D > 0$). Если коэффициент при $x$ является четным числом ($B = 2k$), то для нахождения корней и анализа их количества удобнее использовать дискриминант, деленный на 4: $D/4 = k^2 - aC$. Условие наличия двух различных корней при этом остается тем же: $D/4 > 0$.

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $B=-2b$, $C=b^2-4b+3$.
Поскольку коэффициент при $x$ четный ($B = -2b$), воспользуемся формулой для $D/4$, где $k = B/2 = -b$.
$D/4 = k^2 - aC = (-b)^2 - 1 \cdot (b^2 - 4b + 3) = b^2 - (b^2 - 4b + 3) = b^2 - b^2 + 4b - 3 = 4b - 3$.
Уравнение имеет два различных корня при условии $D/4 > 0$:
$4b - 3 > 0$
$4b > 3$
$b > \frac{3}{4}$
Согласно условию задачи, необходимо найти наименьшее целочисленное значение параметра $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Наименьшее целое число, которое больше, чем $\frac{3}{4}$ (или 0.75), — это 1.
Ответ: 1.

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Его коэффициенты: $a=1$, $B=2(b-2)$, $C=b^2-10b+12$.
Коэффициент при $x$ является четным, поэтому применим формулу для $D/4$, где $k = B/2 = b-2$.
$D/4 = k^2 - aC = (b - 2)^2 - 1 \cdot (b^2 - 10b + 12) = (b^2 - 4b + 4) - (b^2 - 10b + 12)$.
$D/4 = b^2 - 4b + 4 - b^2 + 10b - 12 = 6b - 8$.
Условие наличия двух различных корней — $D/4 > 0$:
$6b - 8 > 0$
$6b > 8$
$b > \frac{8}{6}$
$b > \frac{4}{3}$
Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$. Так как $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, наименьшее целое число, которое больше $1\frac{1}{3}$, — это 2.
Ответ: 2.

34.10. При каких значениях a корни уравнения:

a) $x^2 - 8ax + 27 = 0$ относятся как 3 : 1;

б) $x^2 - 10ax + 24 = 0$ относятся как 2 : 3?

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8ax + 27 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию, их отношение равно $3:1$. Это значит, что корни можно представить в виде $x_1 = 3k$ и $x_2 = k$ для некоторого ненулевого числа $k$.

Воспользуемся теоремой Виета для данного уравнения. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -8a$ и $q = 27$. Таким образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8a) = 8a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 27$

Подставим выражения для корней ($x_1 = 3k$, $x_2 = k$) в эти равенства, получим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3k + k = 8a \\ (3k) \cdot k = 27 \end{cases} $

Решим эту систему:

Из первого уравнения: $4k = 8a$, откуда $k = 2a$.

Из второго уравнения: $3k^2 = 27$, откуда $k^2 = 9$, и, следовательно, $k = 3$ или $k = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$, подставив значения $k$ в соотношение $k = 2a$.

1. Если $k = 3$, то $3 = 2a \implies a = 3/2$.

2. Если $k = -3$, то $-3 = 2a \implies a = -3/2$.

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни, то есть дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 64a^2 - 108$.

При $a = \pm 3/2$, значение $a^2 = (3/2)^2 = 9/4$.

$D = 64 \cdot (9/4) - 108 = 16 \cdot 9 - 108 = 144 - 108 = 36$.

Поскольку $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при найденных значениях $a$.

Ответ: $a = -3/2; a = 3/2$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 10ax + 24 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию, их отношение равно $2:3$. Представим корни в виде $x_1 = 2k$ и $x_2 = 3k$ для некоторого ненулевого числа $k$.

Применим теорему Виета. В данном уравнении $p = -10a$ и $q = 24$.

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10a) = 10a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 24$

Подставим выражения для корней ($x_1 = 2k$, $x_2 = 3k$) в эти равенства:

$ \begin{cases} 2k + 3k = 10a \\ (2k) \cdot (3k) = 24 \end{cases} $

Решим полученную систему:

Из первого уравнения: $5k = 10a$, откуда $k = 2a$.

Из второго уравнения: $6k^2 = 24$, откуда $k^2 = 4$, и, следовательно, $k = 2$ или $k = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$, используя соотношение $k = 2a$.

1. Если $k = 2$, то $2 = 2a \implies a = 1$.

2. Если $k = -2$, то $-2 = 2a \implies a = -1$.

Проверим условие существования действительных корней ($D \ge 0$).

$D = (-10a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100a^2 - 96$.

При $a = \pm 1$, значение $a^2 = 1$.

$D = 100 \cdot 1 - 96 = 4$.

Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при найденных значениях $a$.

Ответ: $a = -1; a = 1$.