Страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.39. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 2^{-|3\cos^2 x + 10 \sin x + 10|} = 25 \cdot 5^y \\ y^3 = 8(2 \sin x + 1)^3 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$y^3 = 8(2\sin x + 1)^3$

Его можно переписать в виде куба выражения:

$y^3 = (2(2\sin x + 1))^3$

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем линейную зависимость между $y$ и $\sin x$:

$y = 2(2\sin x + 1)$

$y = 4\sin x + 2$

Теперь преобразуем и проанализируем первое уравнение системы:

$2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 25 \cdot 5^y$

Правая часть уравнения: $25 \cdot 5^y = 5^2 \cdot 5^y = 5^{y+2}$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 5^{y+2}$

Оценим левую и правую части этого уравнения.

Левая часть (ЛЧ). Показатель степени $ -|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| $ является неположительным числом, так как абсолютная величина всегда неотрицательна. То есть, $-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| \le 0$. Так как основание степени $2 > 1$, то значение левой части не превышает $2^0=1$.

ЛЧ $\le 1$.

Правая часть (ПЧ). Используем найденную ранее зависимость $y = 4\sin x + 2$ для преобразования показателя степени:

$y+2 = (4\sin x + 2) + 2 = 4\sin x + 4 = 4(\sin x + 1)$.

Поскольку значение $\sin x$ находится в пределах от $-1$ до $1$, выражение $\sin x + 1$ находится в пределах от $0$ до $2$. Следовательно, показатель степени $4(\sin x + 1)$ является неотрицательным числом, то есть $4(\sin x + 1) \ge 0$. Так как основание степени $5 > 1$, то значение правой части не меньше $5^0=1$.

ПЧ $\ge 1$.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1.

ЛЧ = 1 и ПЧ = 1.

Это приводит к системе условий, которые должны выполняться одновременно:

1) $2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 1 \implies -|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| = 0 \implies 3\cos^2 x + 10\sin x + 10 = 0$.

2) $5^{y+2} = 1 \implies y+2=0 \implies y = -2$.

Из второго условия получаем $y=-2$. Подставим это значение в выражение $y = 4\sin x + 2$:

$-2 = 4\sin x + 2$

$-4 = 4\sin x$

$\sin x = -1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $\sin x = -1$ и $y=-2$ первому условию $3\cos^2 x + 10\sin x + 10 = 0$.

Если $\sin x = -1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Подставляем $\cos^2 x = 0$ и $\sin x = -1$ в уравнение:

$3(0) + 10(-1) + 10 = 0 - 10 + 10 = 0$.

Равенство $0=0$ является верным, следовательно, найденные значения являются решением.

Итак, решениями исходной системы являются пары $(x,y)$, для которых выполняются условия $\sin x = -1$ и $y = -2$.

Найдём все значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\sin x = -1$:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:

33.40. a) $ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3, \\ 2x - 3y + z = 8, \\ -x + y - 5z = -8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13, \\ x + 3y - 2z = 5, \\ 2x - 2y + 5z = -6. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3, & (1) \\ 2x - 3y + z = 8, & (2) \\ -x + y - 5z = -8; & (3) \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Сначала исключим переменную $x$.

1. Сложим уравнение (1) и уравнение (3):

$(x + 2y - 3z) + (-x + y - 5z) = -3 + (-8)$

$3y - 8z = -11$ (4)

2. Умножим уравнение (1) на -2 и сложим с уравнением (2):

$-2(x + 2y - 3z) = -2(-3) \implies -2x - 4y + 6z = 6$

$(-2x - 4y + 6z) + (2x - 3y + z) = 6 + 8$

$-7y + 7z = 14$

Разделим обе части полученного уравнения на -7:

$y - z = -2$ (5)

3. Теперь решим систему из двух уравнений (4) и (5) с двумя переменными:

$ \begin{cases} 3y - 8z = -11, & (4) \\ y - z = -2. & (5) \end{cases} $

Из уравнения (5) выразим $y$ через $z$:

$y = z - 2$

Подставим это выражение в уравнение (4):

$3(z - 2) - 8z = -11$

$3z - 6 - 8z = -11$

$-5z = -5$

$z = 1$

4. Найдем значение $y$, подставив $z = 1$ в выражение $y = z - 2$:

$y = 1 - 2 = -1$

5. Найдем значение $x$, подставив $y = -1$ и $z = 1$ в исходное уравнение (1):

$x + 2(-1) - 3(1) = -3$

$x - 2 - 3 = -3$

$x - 5 = -3$

$x = 2$

Решение системы: $(2; -1; 1)$.

Ответ: $(2; -1; 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13, & (1) \\ x + 3y - 2z = 5, & (2) \\ 2x - 2y + 5z = -6. & (3) \end{cases} $

Исключим переменную $x$, используя уравнение (2).

1. Умножим уравнение (2) на -3 и сложим с уравнением (1):

$-3(x + 3y - 2z) = -3(5) \implies -3x - 9y + 6z = -15$

$(-3x - 9y + 6z) + (3x - 5y + z) = -15 + (-13)$

$-14y + 7z = -28$

Разделим обе части на -7:

$2y - z = 4$ (4)

2. Умножим уравнение (2) на -2 и сложим с уравнением (3):

$-2(x + 3y - 2z) = -2(5) \implies -2x - 6y + 4z = -10$

$(-2x - 6y + 4z) + (2x - 2y + 5z) = -10 + (-6)$

$-8y + 9z = -16$ (5)

3. Решим систему из уравнений (4) и (5):

$ \begin{cases} 2y - z = 4, & (4) \\ -8y + 9z = -16. & (5) \end{cases} $

Из уравнения (4) выразим $z$:

$z = 2y - 4$

Подставим это выражение в уравнение (5):

$-8y + 9(2y - 4) = -16$

$-8y + 18y - 36 = -16$

$10y = 20$

$y = 2$

4. Найдем значение $z$, подставив $y=2$ в выражение $z = 2y - 4$:

$z = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

5. Найдем значение $x$, подставив $y = 2$ и $z = 0$ в исходное уравнение (2):

$x + 3(2) - 2(0) = 5$

$x + 6 - 0 = 5$

$x = -1$

Решение системы: $(-1; 2; 0)$.

Ответ: $(-1; 2; 0)$.

33.41. a) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1 \\ x - z = 2 \\ xy + xz + yz = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = -1 - x$. Из второго уравнения выразим $z$: $z = x - 2$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$x(-1 - x) + x(x - 2) + (-1 - x)(x - 2) = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x - x^2 + x^2 - 2x + (-x + 2 - x^2 + 2x) = -1$

$-3x - x + 2 - x^2 + 2x = -1$

$-x^2 - 2x + 2 = -1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение с положительным старшим коэффициентом:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения можно найти, разложив его на множители: $(x + 3)(x - 1) = 0$. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого корня.

1. При $x_1 = 1$:

$y_1 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$

$z_1 = x_1 - 2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, первое решение: $(1, -2, -1)$.

2. При $x_2 = -3$:

$y_2 = -1 - x_2 = -1 - (-3) = 2$

$z_2 = x_2 - 2 = -3 - 2 = -5$

Таким образом, второе решение: $(-3, 2, -5)$.

Ответ: $(1, -2, -1)$, $(-3, 2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \end{cases} $

Для решения системы начнем с первых двух линейных уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 1 - 0$, что дает $y - z = 1$, или $y = z + 1$.

Теперь выразим $x$ через $z$. Подставим $y = z + 1$ в первое уравнение:

$x + (z + 1) + 2z = 0$, что дает $x + 3z + 1 = 0$, или $x = -3z - 1$.

Теперь, имея выражения для $x$ и $y$ через $z$, подставим их в третье уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 5$:

$(-3z - 1)^2 + (z + 1)^2 + z^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(9z^2 + 6z + 1) + (z^2 + 2z + 1) + z^2 = 5$

$11z^2 + 8z + 2 = 5$

$11z^2 + 8z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-8 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

$z_2 = \frac{-8 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого значения $z$.

1. При $z_1 = \frac{3}{11}$:

$x_1 = -3z_1 - 1 = -3(\frac{3}{11}) - 1 = -\frac{9}{11} - \frac{11}{11} = -\frac{20}{11}$

$y_1 = z_1 + 1 = \frac{3}{11} + 1 = \frac{3}{11} + \frac{11}{11} = \frac{14}{11}$

Первое решение: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$.

2. При $z_2 = -1$:

$x_2 = -3z_2 - 1 = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$

$y_2 = z_2 + 1 = -1 + 1 = 0$

Второе решение: $(2, 0, -1)$.

Ответ: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$, $(2, 0, -1)$.

33.42. Составьте уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что она проходит через точки $M, P, Q$:

a) $M(1; -2)$, $P(-1; 8)$, $Q(0; 1)$;

б) $M(-1; 6)$, $P(2; 9)$, $Q(1; 2)$.

а)

Чтобы найти уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, проходящей через три заданные точки M(1; -2), P(-1; 8) и Q(0; 1), нужно подставить координаты этих точек в уравнение параболы. Это приведет к системе из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $a$, $b$ и $c$.

1. Для точки M(1; -2):
Подставляем $x=1$ и $y=-2$ в уравнение $y = ax^2 + bx + c$:
$-2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = -2$

2. Для точки P(-1; 8):
Подставляем $x=-1$ и $y=8$ в уравнение:
$8 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 8$

3. Для точки Q(0; 1):
Подставляем $x=0$ и $y=1$ в уравнение:
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = -2 \\ a - b + c = 8 \\ c = 1 \end{cases} $

Из третьего уравнения сразу известно, что $c = 1$. Подставим это значение в первые два уравнения:

$ \begin{cases} a + b + 1 = -2 \\ a - b + 1 = 8 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + b = -3 \\ a - b = 7 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = -3 + 7$

$2a = 4 \implies a = 2$

Теперь подставим значение $a = 2$ в первое уравнение полученной системы ($a+b=-3$), чтобы найти $b$:

$2 + b = -3 \implies b = -5$

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$.

Искомое уравнение параболы:

Ответ: $y = 2x^2 - 5x + 1$

б)

Аналогично пункту а), составим систему уравнений для точек M(-1; 6), P(2; 9) и Q(1; 2) и уравнения параболы $y = ax^2 + bx + c$.

1. Для точки M(-1; 6):
$6 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 6$

2. Для точки P(2; 9):
$9 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \implies 4a + 2b + c = 9$

3. Для точки Q(1; 2):
$2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 2$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 6 & (1) \\ 4a + 2b + c = 9 & (2) \\ a + b + c = 2 & (3) \end{cases} $

Сложим уравнения (1) и (3), чтобы исключить $b$:

$(a - b + c) + (a + b + c) = 6 + 2$

$2a + 2c = 8 \implies a + c = 4$ (4)

Теперь умножим уравнение (3) на -2 и сложим с уравнением (2), чтобы снова исключить $b$:

$-2(a + b + c) = -2 \cdot 2 \implies -2a - 2b - 2c = -4$

$(4a + 2b + c) + (-2a - 2b - 2c) = 9 - 4$

$2a - c = 5$ (5)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5) с двумя неизвестными $a$ и $c$:

$ \begin{cases} a + c = 4 \\ 2a - c = 5 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(a + c) + (2a - c) = 4 + 5$

$3a = 9 \implies a = 3$

Подставим $a = 3$ в уравнение (4):

$3 + c = 4 \implies c = 1$

Наконец, подставим $a = 3$ и $c = 1$ в исходное уравнение (3), чтобы найти $b$:

$3 + b + 1 = 2$

$b + 4 = 2 \implies b = -2$

Мы нашли коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$.

Искомое уравнение параболы:

Ответ: $y = 3x^2 - 2x + 1$

33.43. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии существовала, необходимо выполнение условия $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ имеет вид:$S = \frac{b_1}{1-q}$

По условию задачи, сумма прогрессии равна 4, что дает нам первое уравнение:$\frac{b_1}{1-q} = 4$ (1)

Далее рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$.Эта последовательность также является бесконечной геометрической прогрессией. Её первый член равен $B_1 = b_1^3$, а знаменатель равен $Q = \frac{(b_1q)^3}{b_1^3} = q^3$.Так как $|q| < 1$, то $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$, следовательно, эта прогрессия также сходящаяся.

Сумма $S_{кубов}$ этой новой прогрессии вычисляется по той же формуле:$S_{кубов} = \frac{B_1}{1-Q} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов членов равна 192, что дает нам второе уравнение:$\frac{b_1^3}{1-q^3} = 192$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 4 \\ \frac{b_1^3}{1-q^3} = 192 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 4(1-q)$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:$\frac{(4(1-q))^3}{1-q^3} = 192$

Возведем в куб и упростим:$\frac{4^3(1-q)^3}{1-q^3} = 192$$\frac{64(1-q)^3}{1-q^3} = 192$

Разделим обе части уравнения на 64:$\frac{(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{192}{64}$$\frac{(1-q)^3}{1-q^3} = 3$

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:$\frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = 3$

Поскольку $|q| < 1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = 3$

Раскроем скобки в числителе и решим полученное уравнение:$1 - 2q + q^2 = 3(1+q+q^2)$$1 - 2q + q^2 = 3 + 3q + 3q^2$$2q^2 + 5q + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$q_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$q_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверяем условие $|q| < 1$.Корень $q_1 = -2$ не удовлетворяет этому условию, так как $|-2| = 2 > 1$.Корень $q_2 = -0.5$ удовлетворяет условию, так как $|-0.5| = 0.5 < 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = -0.5$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ из уравнения (1):$b_1 = 4(1-q) = 4(1 - (-0.5)) = 4(1 + 0.5) = 4 \cdot 1.5 = 6$.

Ответ: первый член прогрессии равен 6, знаменатель прогрессии равен -0.5.

33.44. Сумма трёх чисел равна 8, а сумма их квадратов — 26.
Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 2 больше другого.

Обозначим три искомых числа как $x$, $y$ и $z$.

Из условий задачи известно, что сумма этих чисел равна 8, а сумма их квадратов равна 26. Также дано, что одно из чисел на 2 больше другого. Эти условия можно записать в виде системы уравнений. Допустим, что число $y$ на 2 больше числа $x$, то есть $y = x + 2$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 8 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 26 \\ y = x + 2 \end{cases} $

Подставим третье уравнение в первое, чтобы выразить $z$ через $x$:

$x + (x + 2) + z = 8$

$2x + 2 + z = 8$

$z = 8 - 2 - 2x$

$z = 6 - 2x$

Теперь подставим выражения для $y$ и $z$ через $x$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (x + 2)^2 + (6 - 2x)^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + (x^2 + 4x + 4) + (36 - 24x + 4x^2) = 26$

Приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + 4x^2) + (4x - 24x) + (4 + 36) = 26$

$6x^2 - 20x + 40 = 26$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 - 20x + 40 - 26 = 0$

$6x^2 - 20x + 14 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 10x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Мы получили два возможных значения для $x$. Для каждого из них найдём соответствующие значения $y$ и $z$.

Случай 1: Если $x = 1$.

Тогда $y = x + 2 = 1 + 2 = 3$.

И $z = 6 - 2x = 6 - 2 \cdot 1 = 4$.

Получаем набор чисел: 1, 3, 4. Проверим: сумма $1 + 3 + 4 = 8$; сумма квадратов $1^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 9 + 16 = 26$. Условия выполнены.

Случай 2: Если $x = \frac{7}{3}$.

Тогда $y = x + 2 = \frac{7}{3} + 2 = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} = \frac{13}{3}$.

И $z = 6 - 2x = 6 - 2 \cdot \frac{7}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$.

Получаем набор чисел: $\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}$. Проверим: сумма $\frac{4}{3} + \frac{7}{3} + \frac{13}{3} = \frac{24}{3} = 8$; сумма квадратов $(\frac{4}{3})^2 + (\frac{7}{3})^2 + (\frac{13}{3})^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + \frac{169}{9} = \frac{234}{9} = 26$. Условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два набора решений.

Ответ: искомые числа это 1, 3, 4 или $\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}$.

33.45. Три целых числа образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Пусть исходные три целых числа, образующие конечную возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$.Согласно свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$ (1)

Так как прогрессия возрастающая, выполняется условие $b_1 < b_2 < b_3$.

По условию, если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия: $b_1$, $b_2+6$, $b_3$.Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних членов:

$b_2 + 6 = \frac{b_1 + b_3}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$b_1 + b_3 = 2(b_2 + 6) = 2b_2 + 12$ (2)

Далее, в этой арифметической прогрессии ($b_1$, $b_2+6$, $b_3$) первое и третье числа увеличивают на 5, а второе — на 1. В результате получаются числа $b_1+5$, $(b_2+6)+1$ и $b_3+5$, то есть $b_1+5$, $b_2+7$, $b_3+5$.Эти новые числа образуют геометрическую прогрессию. Снова применяем свойство геометрической прогрессии:

$(b_2+7)^2 = (b_1+5)(b_3+5)$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения $b_1, b_2, b_3$. Раскроем скобки в уравнении (3):

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_1b_3 + 5b_1 + 5b_3 + 25$

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_1b_3 + 5(b_1 + b_3) + 25$

Подставим в это уравнение выражения из уравнений (1) и (2): заменим $b_1b_3$ на $b_2^2$ и $b_1+b_3$ на $2b_2+12$.

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_2^2 + 5(2b_2 + 12) + 25$

Сократим $b_2^2$ в обеих частях:

$14b_2 + 49 = 10b_2 + 60 + 25$

$14b_2 + 49 = 10b_2 + 85$

$14b_2 - 10b_2 = 85 - 49$

$4b_2 = 36$

$b_2 = 9$

Зная $b_2$, мы можем найти сумму $b_1+b_3$ из уравнения (2):

$b_1 + b_3 = 2(9) + 12 = 18 + 12 = 30$

Также из уравнения (1) мы знаем произведение $b_1b_3$:

$b_1b_3 = b_2^2 = 9^2 = 81$

Теперь нам нужно найти два числа, $b_1$ и $b_3$, зная их сумму (30) и произведение (81). Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 30t + 81 = 0$.Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения — это числа, которые в сумме дают 30, а в произведении 81. Это числа 3 и 27.Таким образом, у нас есть два возможных набора для $(b_1, b_3)$: $(3, 27)$ или $(27, 3)$.

Рассмотрим оба варианта:

1. Если $b_1=3$ и $b_3=27$, то, учитывая $b_2=9$, исходные числа: 3, 9, 27. Эта последовательность является возрастающей ($3<9<27$), что соответствует условию задачи.

2. Если $b_1=27$ и $b_3=3$, то исходные числа: 27, 9, 3. Эта последовательность является убывающей ($27>9>3$), что противоречит условию задачи.

Следовательно, единственно верным решением являются числа 3, 9 и 27.

Проверим найденное решение.
Исходная последовательность: 3, 9, 27. Это возрастающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.
Увеличиваем второе число на 6: 3, 15, 27. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=12$.
В последней последовательности увеличиваем первое и третье числа на 5, а второе на 1: $3+5=8$, $15+1=16$, $27+5=32$. Последовательность 8, 16, 32 является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.
Все условия выполнены.

Ответ: 3, 9, 27.

33.46. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?

Обозначим производительность (количество подшипников, производимых за 1 час) первой, второй и третьей бригад как $p_1$, $p_2$ и $p_3$ соответственно. Пусть $A$ — это норма по изготовлению подшипников, а $t$ — время, за которое три бригады выполняют эту норму, работая вместе.

Тогда объем выполненной работы можно выразить формулой:

$A = (p_1 + p_2 + p_3) \cdot t$

Из первого условия задачи: "Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время".

Новые производительности бригад были бы $\frac{p_1}{2}$, $\frac{p_2}{2}$ и $4p_3$. Так как работа и время выполнения не изменились, то общая производительность тоже осталась прежней:

$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{p_1}{2} + \frac{p_2}{2} + 4p_3$

Упростим это уравнение:

$p_1 - \frac{p_1}{2} + p_2 - \frac{p_2}{2} = 4p_3 - p_3$

$\frac{p_1}{2} + \frac{p_2}{2} = 3p_3$

Умножим обе части на 2:

$p_1 + p_2 = 6p_3$ (1)

Из второго условия задачи: "первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей".

Это означает, что совместная производительность первой и второй бригад в 2 раза выше, чем совместная производительность второй и третьей бригад.

$p_1 + p_2 = 2 \cdot (p_2 + p_3)$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $p_1 + p_2 = 6p_3$

2) $p_1 + p_2 = 2(p_2 + p_3)$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$6p_3 = 2(p_2 + p_3)$

$6p_3 = 2p_2 + 2p_3$

$4p_3 = 2p_2$

$p_2 = 2p_3$

Теперь подставим выражение для $p_2$ в первое уравнение, чтобы найти $p_1$:

$p_1 + 2p_3 = 6p_3$

$p_1 = 6p_3 - 2p_3$

$p_1 = 4p_3$

Вопрос задачи: "Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?". Это означает, что нам нужно найти отношение производительности первой бригады к производительности третьей, то есть $\frac{p_1}{p_3}$.

Из полученного равенства $p_1 = 4p_3$ находим:

$\frac{p_1}{p_3} = 4$

Следовательно, первая бригада производит в 4 раза больше подшипников за 1 час, чем третья.

Ответ: в 4 раза.