Номер 33.39, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.39, страница 215.

33.39. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 2^{-|3\cos^2 x + 10 \sin x + 10|} = 25 \cdot 5^y \\ y^3 = 8(2 \sin x + 1)^3 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$y^3 = 8(2\sin x + 1)^3$

Его можно переписать в виде куба выражения:

$y^3 = (2(2\sin x + 1))^3$

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем линейную зависимость между $y$ и $\sin x$:

$y = 2(2\sin x + 1)$

$y = 4\sin x + 2$

Теперь преобразуем и проанализируем первое уравнение системы:

$2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 25 \cdot 5^y$

Правая часть уравнения: $25 \cdot 5^y = 5^2 \cdot 5^y = 5^{y+2}$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 5^{y+2}$

Оценим левую и правую части этого уравнения.

Левая часть (ЛЧ). Показатель степени $ -|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| $ является неположительным числом, так как абсолютная величина всегда неотрицательна. То есть, $-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| \le 0$. Так как основание степени $2 > 1$, то значение левой части не превышает $2^0=1$.

ЛЧ $\le 1$.

Правая часть (ПЧ). Используем найденную ранее зависимость $y = 4\sin x + 2$ для преобразования показателя степени:

$y+2 = (4\sin x + 2) + 2 = 4\sin x + 4 = 4(\sin x + 1)$.

Поскольку значение $\sin x$ находится в пределах от $-1$ до $1$, выражение $\sin x + 1$ находится в пределах от $0$ до $2$. Следовательно, показатель степени $4(\sin x + 1)$ является неотрицательным числом, то есть $4(\sin x + 1) \ge 0$. Так как основание степени $5 > 1$, то значение правой части не меньше $5^0=1$.

ПЧ $\ge 1$.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1.

ЛЧ = 1 и ПЧ = 1.

Это приводит к системе условий, которые должны выполняться одновременно:

1) $2^{-|3\cos^2 x + 10\sin x + 10|} = 1 \implies -|3\cos^2 x + 10\sin x + 10| = 0 \implies 3\cos^2 x + 10\sin x + 10 = 0$.

2) $5^{y+2} = 1 \implies y+2=0 \implies y = -2$.

Из второго условия получаем $y=-2$. Подставим это значение в выражение $y = 4\sin x + 2$:

$-2 = 4\sin x + 2$

$-4 = 4\sin x$

$\sin x = -1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $\sin x = -1$ и $y=-2$ первому условию $3\cos^2 x + 10\sin x + 10 = 0$.

Если $\sin x = -1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Подставляем $\cos^2 x = 0$ и $\sin x = -1$ в уравнение:

$3(0) + 10(-1) + 10 = 0 - 10 + 10 = 0$.

Равенство $0=0$ является верным, следовательно, найденные значения являются решением.

Итак, решениями исходной системы являются пары $(x,y)$, для которых выполняются условия $\sin x = -1$ и $y = -2$.

Найдём все значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\sin x = -1$:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -2)$, где $n \in \mathbb{Z}$.