Номер 33.32, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.32, страница 213.

33.32. a) $\begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}, \\ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_y x - 2\log_x y = 1, \\ x^2 + 2y^2 = 3. \end{cases}$

a)

Рассмотрим систему уравнений:

1) $ \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2} $

2) $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования логарифмов и квадратных корней. Аргументы логарифмов и их основания должны быть положительными, а основания не должны равняться единице. Положительность подкоренных выражений также требуется.

Из логарифмов: $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ x \neq 1 $, $ y \neq 1 $.

Из квадратных корней: $ x \ge 0 $, $ y \ge 0 $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 0, y > 0, x \neq 1, y \neq 1 $.

Преобразуем первое уравнение. Используем свойство логарифмов $ \log_y x = \frac{1}{\log_x y} $.

Введем замену $ t = \log_x y $. Тогда первое уравнение примет вид:

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Умножим обе части уравнения на $ 2t $ (где $ t \neq 0 $, так как иначе $ y=x^0=1 $, что противоречит ОДЗ):

$ 2t^2 + 2 = 5t $

$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его корни. Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \log_x y = \frac{1}{2} $.

Из этого следует, что $ y = x^{1/2} $, или $ y = \sqrt{x} $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $:

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{\sqrt{x}} = 1 $

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} - 1 = 0 $

Сделаем замену $ a = \sqrt[4]{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ a > 0 $. Тогда $ \sqrt{x} = a^2 $.

$ 4a^2 - 3a - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ a $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $.

$ a_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} $. Этот корень не подходит, так как $ a > 0 $.

$ a_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1 $. Этот корень подходит.

Тогда $ \sqrt[4]{x} = 1 $, откуда $ x = 1 $. Однако, согласно ОДЗ, $ x \neq 1 $. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ \log_x y = 2 $.

Из этого следует, что $ y = x^2 $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 $:

$ 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x^2} = 1 $

Поскольку по ОДЗ $ x > 0 $, то $ \sqrt{x^2} = x $.

$ 4\sqrt{x} - 3x = 1 $

Сделаем замену $ v = \sqrt{x} $. Так как $ x > 0 $, то $ v > 0 $. Тогда $ x = v^2 $.

$ 4v - 3v^2 = 1 $

$ 3v^2 - 4v + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ v $. Дискриминант $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2 $.

$ v_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Этот корень подходит, так как $ v > 0 $.

$ v_2 = \frac{4 + 2}{6} = 1 $. Этот корень подходит.

Если $ v = 1 $, то $ \sqrt{x} = 1 $, откуда $ x = 1 $. Это значение не входит в ОДЗ.

Если $ v = \frac{1}{3} $, то $ \sqrt{x} = \frac{1}{3} $, откуда $ x = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $.

Найдем соответствующее значение $ y $: $ y = x^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81} $.

Проверим найденную пару $ (1/9; 1/81) $ на соответствие ОДЗ. $ x = 1/9 > 0 $ и $ x \neq 1 $. $ y = 1/81 > 0 $ и $ y \neq 1 $. Условия ОДЗ выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $ (1/9; 1/81) $.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

1) $ \log_y x - 2\log_x y = 1 $

2) $ x^2 + 2y^2 = 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования логарифмов: $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ x \neq 1 $, $ y \neq 1 $. Второе уравнение не накладывает дополнительных ограничений.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство $ \log_x y = \frac{1}{\log_y x} $.

Введем замену $ t = \log_y x $. Тогда первое уравнение примет вид:

$ t - \frac{2}{t} = 1 $

Умножим обе части на $ t $ (где $ t \neq 0 $, так как иначе $ x=y^0=1 $, что противоречит ОДЗ):

$ t^2 - 2 = t $

$ t^2 - t - 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $ t_1 + t_2 = 1 $, $ t_1 \cdot t_2 = -2 $. Корни: $ t_1 = 2 $ и $ t_2 = -1 $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \log_y x = 2 $.

Из этого следует, что $ x = y^2 $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ x^2 + 2y^2 = 3 $:

$ (y^2)^2 + 2y^2 = 3 $

$ y^4 + 2y^2 - 3 = 0 $

Сделаем замену $ z = y^2 $. Так как $ y > 0 $, то $ z > 0 $.

$ z^2 + 2z - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни этого уравнения $ z_1 = 1 $ и $ z_2 = -3 $.

Корень $ z_2 = -3 $ не подходит, так как $ z > 0 $.

Остается $ z = 1 $, то есть $ y^2 = 1 $. Поскольку по ОДЗ $ y > 0 $, получаем $ y = 1 $. Это значение не входит в ОДЗ ($ y \neq 1 $). Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ \log_y x = -1 $.

Из этого следует, что $ x = y^{-1} $, или $ x = \frac{1}{y} $.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $ x^2 + 2y^2 = 3 $:

$ \left(\frac{1}{y}\right)^2 + 2y^2 = 3 $

$ \frac{1}{y^2} + 2y^2 = 3 $

Умножим обе части на $ y^2 $ (где $ y \neq 0 $ по ОДЗ):

$ 1 + 2y^4 = 3y^2 $

$ 2y^4 - 3y^2 + 1 = 0 $

Сделаем замену $ w = y^2 $. Так как $ y > 0 $, то $ w > 0 $.

$ 2w^2 - 3w + 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение относительно $ w $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2 $.

$ w_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Этот корень подходит, так как $ w > 0 $.

$ w_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $. Этот корень подходит.

Если $ w = 1 $, то $ y^2 = 1 $. Поскольку $ y > 0 $, получаем $ y=1 $. Это значение не входит в ОДЗ.

Если $ w = \frac{1}{2} $, то $ y^2 = \frac{1}{2} $. Поскольку $ y > 0 $, получаем $ y = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем соответствующее значение $ x $: $ x = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} $.

Проверим найденную пару $ (\sqrt{2}; \sqrt{2}/2) $ на соответствие ОДЗ. $ x = \sqrt{2} > 0 $ и $ x \neq 1 $. $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $ и $ y \neq 1 $. Условия ОДЗ выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $ (\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) $.