Номер 33.27, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.27, страница 213.

33.27. a) $ \begin{cases} 2^{6x-2y} = 4^{x+y+10}, \\ 3^{x^2} = 3^{11+y}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{343^y}{7^{x-y}} = 49, \\ \frac{5^x}{25^{x-y}} = 1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{6x-2y} = 4^{x+y+10} \\ 3^{x^2} = 3^{11+y} \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, приведя обе стороны к основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$2^{6x-2y} = (2^2)^{x+y+10}$

$2^{6x-2y} = 2^{2(x+y+10)}$

$2^{6x-2y} = 2^{2x+2y+20}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$6x - 2y = 2x + 2y + 20$

$6x - 2x - 2y - 2y = 20$

$4x - 4y = 20$

Разделим обе части на 4:

$x - y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Основания степеней уже равны (3), поэтому приравниваем показатели:

$x^2 = 11 + y$

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5 \\ x^2 = 11 + y \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x - 5$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 = 11 + (x - 5)$

$x^2 = x + 6$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1=3$ и $x_2=-2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = x_1 - 5 = 3 - 5 = -2$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = x_2 - 5 = -2 - 5 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; -2)$, $(-2; -7)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{343^{\frac{x}{y}}}{7^{x-y}} = 49 \\ \frac{5^{\frac{x}{y}}}{25^{x-y}} = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение. Заметим, что $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Приведем все к основанию 7:

$\frac{(7^3)^{\frac{x}{y}}}{7^{x-y}} = 7^2$

$\frac{7^{\frac{3x}{y}}}{7^{x-y}} = 7^2$

По свойству степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{\frac{3x}{y} - (x-y)} = 7^2$

Приравниваем показатели:

$\frac{3x}{y} - (x-y) = 2$

Теперь преобразуем второе уравнение. Заметим, что $25 = 5^2$ и $1 = 5^0$. Приведем все к основанию 5:

$\frac{5^{\frac{x}{y}}}{(5^2)^{x-y}} = 5^0$

$\frac{5^{\frac{x}{y}}}{5^{2(x-y)}} = 5^0$

$5^{\frac{x}{y} - 2(x-y)} = 5^0$

Приравниваем показатели:

$\frac{x}{y} - 2(x-y) = 0$

Для упрощения решения введем замену: пусть $A = \frac{x}{y}$ и $B = x-y$. Тогда система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} 3A - B = 2 \\ A - 2B = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $A$: $A = 2B$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(2B) - B = 2$

$6B - B = 2$

$5B = 2$

$B = \frac{2}{5}$

Теперь найдем $A$:

$A = 2B = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{4}{5} \\ x - y = \frac{2}{5} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{4}{5}y$.

Подставим это во второе уравнение:

$\frac{4}{5}y - y = \frac{2}{5}$

$-\frac{1}{5}y = \frac{2}{5}$

Умножим обе части на -5:

$y = -2$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{4}{5}y = \frac{4}{5} \cdot (-2) = -\frac{8}{5}$

Проверим, что $y \neq 0$, что требуется по условию (деление на $y$ в показателе степени). Условие выполняется, так как $y=-2$.

Ответ: $(-\frac{8}{5}; -2)$.