Номер 33.21, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.21, страница 212.

Решите систему уравнений:

33.21. а) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3 \cdot \sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}}, \\ xy + 2x = 13 - 4y; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0, \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3 \cdot \sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}} \\ xy + 2x = 13 - 4y \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $y + 5 \neq 0$, $x + 3y \neq 0$ и $\frac{x + 3y}{y + 5} \ge 0$. Так как в уравнении присутствует и корень из обратной дроби, то выражение под корнем должно быть строго положительным: $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Тогда первое уравнение принимает вид:

$t + 2 = 3 \cdot \frac{1}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Так как по условию $t > 0$, нам подходит только корень $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x + 3y}{y + 5} = 1$

$x + 3y = y + 5$

$x = 5 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $xy + 2x = 13 - 4y$:

$(5 - 2y)y + 2(5 - 2y) = 13 - 4y$

$5y - 2y^2 + 10 - 4y = 13 - 4y$

$-2y^2 + y + 10 = 13 - 4y$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-2y^2 + 5y - 3 = 0$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 5 - 2y$:

При $y_1 = 1$: $x_1 = 5 - 2(1) = 3$.

При $y_2 = \frac{3}{2}$: $x_2 = 5 - 2(\frac{3}{2}) = 5 - 3 = 2$.

Мы получили две пары решений: $(3, 1)$ и $(2, \frac{3}{2})$. Проверим их на соответствие ОДЗ $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Для пары $(3, 1)$: $\frac{3 + 3 \cdot 1}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(2, \frac{3}{2})$: $\frac{2 + 3 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{3}{2} + 5} = \frac{\frac{4}{2} + \frac{9}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{10}{2}} = \frac{13/2}{13/2} = 1 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(3, 1), (2, \frac{3}{2})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0 \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$ и $\frac{x + y}{x - y} > 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + y}{x - y}}$. Тогда $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны, поэтому рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 1 \implies \frac{x + y}{x - y} = 1 \implies x + y = x - y \implies 2y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы $x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0$:

$x^2 + 4x - 0 - 0 = 0 \implies x(x + 4) = 0$.

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.

Проверим получившиеся пары по ОДЗ. Пара $(0, 0)$ не подходит, так как $x - y = 0$. Пара $(-4, 0)$ подходит, так как $x-y = -4 \ne 0$ и $\frac{-4+0}{-4-0} = 1 > 0$.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 3 \implies \frac{x + y}{x - y} = 9 \implies x + y = 9(x - y) \implies x + y = 9x - 9y \implies 10y = 8x \implies y = \frac{4}{5}x$.

Подставим $y = \frac{4}{5}x$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 4x - \left(\frac{4}{5}x\right)^2 - 3\left(\frac{4}{5}x\right) = 0$

$x^2 + 4x - \frac{16}{25}x^2 - \frac{12}{5}x = 0$

Умножим уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:

$25x^2 + 100x - 16x^2 - 60x = 0$

$9x^2 + 40x = 0$

$x(9x + 40) = 0$

Отсюда $x_3 = 0$ или $x_4 = -\frac{40}{9}$.

Если $x_3 = 0$, то $y_3 = \frac{4}{5} \cdot 0 = 0$. Получаем пару $(0, 0)$, которая не удовлетворяет ОДЗ.

Если $x_4 = -\frac{40}{9}$, то $y_4 = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{40}{9}\right) = -\frac{32}{9}$.

Проверим пару $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$ на соответствие ОДЗ.

$x-y = -\frac{40}{9} - (-\frac{32}{9}) = -\frac{8}{9} \ne 0$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{-\frac{40}{9} - \frac{32}{9}}{-\frac{8}{9}} = \frac{-72/9}{-8/9} = \frac{-8}{-8/9} = 9 > 0$. Решение подходит.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-4, 0), (-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.