Номер 33.25, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.25, страница 212.

33.25. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ y = \log_2 x \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2 \\ \log_7 (4-x) = y \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x = 1 \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}$

a) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{9} = (\frac{1}{3})^x \\ y = \log_2 x \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения $y = \log_2 x$ следует, что $x > 0$.

Преобразуем первое уравнение:
$y = 9 \cdot (\frac{1}{3})^x$
$y = 3^2 \cdot (3^{-1})^x$
$y = 3^2 \cdot 3^{-x}$
$y = 3^{2-x}$

Теперь приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:
$3^{2-x} = \log_2 x$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения.
Функция $f(x) = 3^{2-x}$ является показательной функцией с основанием $3 > 1$ и убывающим показателем $2-x$, следовательно, $f(x)$ является убывающей функцией на всей своей области определения.
Функция $g(x) = \log_2 x$ является логарифмической функцией с основанием $2 > 1$, следовательно, $g(x)$ является возрастающей функцией на своей области определения ($x>0$).

Убывающая и возрастающая функции могут пересекаться не более одного раза. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения. Найдем это решение методом подбора.
Проверим значение $x=2$:
Левая часть: $3^{2-2} = 3^0 = 1$.
Правая часть: $\log_2 2 = 1$.
Так как $1=1$, то $x=2$ является решением уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = \log_2 x = \log_2 2 = 1$.
Проверим по первому уравнению: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, что верно.
Решение системы: $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x+1} - y = 2 \\ \log_7(4-x) = y \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из первого уравнения: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Из второго уравнения: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
Объединяя условия, получаем: $-1 \le x < 4$.

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$\sqrt{x+1} - \log_7(4-x) = 2$
$\sqrt{x+1} = 2 + \log_7(4-x)$

Рассмотрим функции в левой и правой частях.
Функция $f(x) = \sqrt{x+1}$ является возрастающей на ОДЗ.
Функция $g(x) = 2 + \log_7(4-x)$ является убывающей, так как логарифмическая функция с основанием $7 > 1$ возрастает, но ее аргумент $(4-x)$ является убывающей функцией.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем решение подбором, пытаясь подобрать $x$ так, чтобы выражение под логарифмом было степенью 7.
Пусть $4-x = 1$, тогда $x=3$. Это значение входит в ОДЗ.
Проверим $x=3$:
Левая часть: $\sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Правая часть: $2 + \log_7(4-3) = 2 + \log_7(1) = 2 + 0 = 2$.
Так как $2=2$, то $x=3$ является решением.

Найдем $y$:
$y = \log_7(4-x) = \log_7(4-3) = \log_7(1) = 0$.
Решение системы: $(3, 0)$.
Ответ: $(3, 0)$

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^{y+x} - 3^{x-y} = 1 \\ 2^{x+y} + 3^{x-y} = 3 \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = 2^{x+y}$ и $b = 3^{x-y}$. Заметим, что $a > 0$ и $b > 0$.
Система примет вид: $ \begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 1 + 3$
$2a = 4$
$a = 2$

Подставим значение $a$ в любое из уравнений, например, во второе:
$2 + b = 3$
$b = 1$

Теперь выполним обратную замену:
$a = 2^{x+y} = 2 \Rightarrow 2^{x+y} = 2^1 \Rightarrow x+y = 1$
$b = 3^{x-y} = 1 \Rightarrow 3^{x-y} = 3^0 \Rightarrow x-y = 0$

Получили новую систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $x=y$. Подставим это в первое уравнение:
$x+x = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Так как $x=y$, то $y=\frac{1}{2}$.
Решение системы: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y+x = 1 \\ 2^{x-y} = (\frac{1}{4})^{-1} \cdot \frac{8^{2/3}}{2} \end{cases} $

Упростим правую часть второго уравнения:
$(\frac{1}{4})^{-1} = 4 = 2^2$.
$8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
Тогда вся правая часть равна:
$2^2 \cdot \frac{4}{2} = 4 \cdot 2 = 8$.

Второе уравнение принимает вид:
$2^{x-y} = 8$
$2^{x-y} = 2^3$
$x-y = 3$

Теперь решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения:
$(x+y) + (x-y) = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение:
$2 + y = 1$
$y = 1 - 2 = -1$.
Решение системы: $(2, -1)$.
Ответ: $(2, -1)$