Номер 33.23, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.23, страница 212.

33.23. a) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{10}{3}, \\ x + 2y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 3, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{65}{8}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{10}{3} \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

В первом уравнении введем замену: $t = \sqrt{x} + \sqrt{y}$. Поскольку $x$ и $y$ не могут быть одновременно равны нулю (иначе знаменатель обратится в ноль), то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Умножим обе части на $3t$, чтобы избавиться от дробей:

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба значения $t$ положительны, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $\sqrt{x} = 3 - \sqrt{y}$. Из условия $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что $3 - \sqrt{y} \ge 0$, то есть $\sqrt{y} \le 3$, а значит $0 \le y \le 9$.

Возведем в квадрат выражение для $\sqrt{x}$: $x = (3 - \sqrt{y})^2 = 9 - 6\sqrt{y} + y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(9 - 6\sqrt{y} + y) + 2y = 9$

$9 - 6\sqrt{y} + 3y = 9$

$3y - 6\sqrt{y} = 0$

$3\sqrt{y}(\sqrt{y} - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $\sqrt{y}$: $\sqrt{y} = 0$ или $\sqrt{y} = 2$.

Если $\sqrt{y} = 0$, то $y=0$. Тогда $\sqrt{x} = 3 - 0 = 3$, откуда $x=9$. Получаем решение $(9, 0)$.

Если $\sqrt{y} = 2$, то $y=4$. Тогда $\sqrt{x} = 3 - 2 = 1$, откуда $x=1$. Получаем решение $(1, 4)$.

Случай 2: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{1}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{1}{3} \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

Из первого уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{3} - \sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $\frac{1}{3} - \sqrt{y} \ge 0$, то есть $\sqrt{y} \le \frac{1}{3}$.

Возведем в квадрат: $x = (\frac{1}{3} - \sqrt{y})^2 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}\sqrt{y} + y$.

Подставим во второе уравнение: $(\frac{1}{9} - \frac{2}{3}\sqrt{y} + y) + 2y = 9$.

$3y - \frac{2}{3}\sqrt{y} + \frac{1}{9} - 9 = 0 \implies 3y - \frac{2}{3}\sqrt{y} - \frac{80}{9} = 0$.

Умножим на 9: $27y - 6\sqrt{y} - 80 = 0$.

Пусть $u = \sqrt{y}$. Тогда $27u^2 - 6u - 80 = 0$. Положительный корень этого уравнения $u = \frac{6 + \sqrt{36 - 4 \cdot 27 \cdot (-80)}}{2 \cdot 27} = \frac{6 + \sqrt{8676}}{54}$.

Проверим условие $u \le \frac{1}{3}$: $\frac{6 + \sqrt{8676}}{54} \le \frac{1}{3} \implies 6 + \sqrt{8676} \le 18 \implies \sqrt{8676} \le 12 \implies 8676 \le 144$. Это неверно.

Таким образом, во втором случае решений нет.

Ответ: $(9, 0), (1, 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{65}{8} \end{cases} $$

Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Во втором уравнении введем замену $t = \sqrt{x} + 2\sqrt{y}$. Так как $x, y \ge 0$ и не могут быть нулями одновременно, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{65}{8}$

Умножим обе части на $8t$: $8t^2 + 8 = 65t$, что равносильно $8t^2 - 65t + 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-65)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 4225 - 256 = 3969 = 63^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{65 \pm 63}{16}$.

$t_1 = \frac{65 + 63}{16} = \frac{128}{16} = 8$

$t_2 = \frac{65 - 63}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 8$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 8 \end{cases} $$

Из второго уравнения $\sqrt{x} = 8 - 2\sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $8 - 2\sqrt{y} \ge 0$, то есть $2\sqrt{y} \le 8$ или $\sqrt{y} \le 4$.

Возведем в квадрат: $x = (8 - 2\sqrt{y})^2 = 64 - 32\sqrt{y} + 4y$.

Подставим $x$ в первое уравнение: $3(64 - 32\sqrt{y} + 4y) - y = 3$.

$192 - 96\sqrt{y} + 12y - y = 3$

$11y - 96\sqrt{y} + 189 = 0$

Пусть $u = \sqrt{y}$. Тогда $11u^2 - 96u + 189 = 0$.

Дискриминант $D = (-96)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 189 = 9216 - 8316 = 900 = 30^2$.

Корни: $u_{1,2} = \frac{96 \pm 30}{22}$.

$u_1 = \frac{126}{22} = \frac{63}{11}$. Этот корень не удовлетворяет условию $u \le 4$, так как $\frac{63}{11} > 4$.

$u_2 = \frac{66}{22} = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $u \le 4$.

Итак, $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Тогда $\sqrt{x} = 8 - 2(3) = 2 \implies x = 4$.

Получаем решение $(4, 9)$.

Случай 2: $\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = \frac{1}{8}$.

$$ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = \frac{1}{8} \end{cases} $$

Из второго уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{8} - 2\sqrt{y}$. Из $\sqrt{x} \ge 0$ следует $\frac{1}{8} - 2\sqrt{y} \ge 0 \implies 2\sqrt{y} \le \frac{1}{8} \implies \sqrt{y} \le \frac{1}{16}$.

Из первого уравнения системы $y = 3x - 3$. Так как $y \ge 0$, то $3x - 3 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Тогда $\sqrt{x} \ge 1$.

Имеем $\sqrt{x} = \frac{1}{8} - 2\sqrt{y}$. Так как $2\sqrt{y} \ge 0$, то $\sqrt{x} \le \frac{1}{8}$.

Получили противоречие: $\sqrt{x} \ge 1$ и $\sqrt{x} \le \frac{1}{8}$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $(4, 9)$.