Номер 33.22, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.22, страница 212.

33.22. a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{\sqrt{2}}, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{\frac{y}{x}} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = 1, \\ \sqrt{5x + y} + \sqrt{5x - y} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий подкоренных выражений: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}\sqrt{x}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}} $$ Таким образом, первое уравнение принимает вид: $$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $$ Отсюда выразим $x+y$: $$ x+y = \frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{xy} $$

Теперь рассмотрим второе уравнение и возведем обе его части в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 $$ $$ x + y + 2\sqrt{xy} = 3 + 2\sqrt{2} $$

Подставим в полученное уравнение выражение для $x+y$, найденное из первого уравнения: $$ \frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} = 3 + 2\sqrt{2} $$ Вынесем $\sqrt{xy}$ за скобки в левой части: $$ \sqrt{xy} \left(\frac{3}{\sqrt{2}} + 2\right) = 3 + 2\sqrt{2} $$ $$ \sqrt{xy} \left(\frac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 3 + 2\sqrt{2} $$ Так как $3+2\sqrt{2} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на это выражение: $$ \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{2}} = 1 $$ $$ \sqrt{xy} = \sqrt{2} $$

Теперь мы можем составить новую, более простую систему, используя второе исходное уравнение и полученное нами соотношение: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} + 1 \\ \sqrt{xy} = \sqrt{2} \end{cases} $$ Введем замену: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x>0, y>0$, то $a > 0, b > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = \sqrt{2} + 1 \\ ab = \sqrt{2} \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (\sqrt{2} + 1)t + \sqrt{2} = 0$. Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители: $$ t^2 - \sqrt{2}t - t + \sqrt{2} = 0 $$ $$ t(t - \sqrt{2}) - 1(t - \sqrt{2}) = 0 $$ $$ (t-1)(t-\sqrt{2}) = 0 $$ Отсюда корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = \sqrt{2}$.

Это дает нам две пары значений для $(a, b)$:
1) $a=1, b=\sqrt{2}$. Выполняем обратную замену: $$ \sqrt{x}=1 \implies x=1 $$ $$ \sqrt{y}=\sqrt{2} \implies y=2 $$ Получаем решение $(1, 2)$.
2) $a=\sqrt{2}, b=1$. Выполняем обратную замену: $$ \sqrt{x}=\sqrt{2} \implies x=2 $$ $$ \sqrt{y}=1 \implies y=1 $$ Получаем решение $(2, 1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{y}{x}} - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = 1 \\ \sqrt{5x+y} + \sqrt{5x-y} = 4 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$ (из-за дробей под корнем), и $5x-y \geq 0$, что эквивалентно $5x \geq y$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену $t = \sqrt{\frac{y}{x}}$. Так как $x>0, y>0$, то $t>0$. Тогда $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $$ t - \frac{2}{t} = 1 $$ Умножим обе части на $t$ (поскольку $t>0$, то $t \neq 0$): $$ t^2 - 2 = t $$ $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), корни равны $t_1=2$ и $t_2=-1$. Так как по условию замены $t>0$, нам подходит только корень $t=2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $$ \sqrt{\frac{y}{x}} = 2 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \frac{y}{x} = 4 $$ $$ y = 4x $$ Проверим выполнение условия ОДЗ $5x \geq y$. Подставляя $y=4x$, получаем $5x \geq 4x$, что упрощается до $x \geq 0$. С учетом условия $x>0$, это соотношение допустимо.

Теперь подставим выражение $y = 4x$ во второе уравнение системы: $$ \sqrt{5x+4x} + \sqrt{5x-4x} = 4 $$ $$ \sqrt{9x} + \sqrt{x} = 4 $$ $$ 3\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4 $$ $$ 4\sqrt{x} = 4 $$ $$ \sqrt{x} = 1 $$ Возводим обе части в квадрат: $$ x = 1 $$

Теперь находим значение $y$: $$ y = 4x = 4 \cdot 1 = 4 $$ Таким образом, мы получили решение $(1, 4)$. Проверим его на соответствие ОДЗ: $x=1>0$, $y=4>0$, и $5x \geq y \implies 5 \cdot 1 \geq 4 \implies 5 \geq 4$. Все условия выполнены.

Ответ: $(1; 4)$.