Номер 33.30, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.30, страница 213.

33.30. a) $ \begin{cases} 6^{2x} + 6^x \cdot y = 12, \\ y^2 + y \cdot 6^x = -8; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 7^{2y} - 7^y \cdot x = 28, \\ x^2 - x \cdot 7^y = -12. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 6^{2x} + 6^x \cdot y = 12 \\ y^2 + y \cdot 6^x = -8 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $u = 6^x$ и $v = y$. Так как показательная функция $a^z > 0$ для любого действительного $z$ при $a>0$, то $u > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u^2 + uv = 12 \\ v^2 + vu = -8 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(u^2 + uv) + (v^2 + vu) = 12 + (-8)$$ $$u^2 + 2uv + v^2 = 4$$ $$(u+v)^2 = 4$$ Отсюда следует, что $u+v = 2$ или $u+v = -2$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $u+v=2$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы $u^2+uv=12$. Вынесем $u$ за скобки: $u(u+v) = 12$. Получим $u \cdot 2 = 12$, откуда $u=6$.
Так как $u+v=2$, то $v = 2 - u = 2 - 6 = -4$.
Проверим условие $u > 0$. $6 > 0$, условие выполняется.
Проверим найденную пару $(u, v) = (6, -4)$ во втором уравнении $v^2+vu = -8$: $(-4)^2 + (-4) \cdot 6 = 16 - 24 = -8$. Равенство верно. Следовательно, пара $(u, v) = (6, -4)$ является решением.

Случай 2: $u+v=-2$.
Аналогично подставляем в уравнение $u(u+v) = 12$. Получим $u \cdot (-2) = 12$, откуда $u=-6$.
Это значение не удовлетворяет условию $u>0$, поэтому этот случай не дает решений.

Итак, единственное решение для $(u,v)$ это $(6, -4)$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$u = 6^x = 6 \implies 6^x = 6^1 \implies x=1$$ $$v = y = -4$$ Таким образом, решение системы: $(1, -4)$.

Ответ: $(1, -4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7^{2y} - 7^y \cdot x = 28 \\ x^2 - x \cdot 7^y = -12 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $u = 7^y$ и $v = x$. Так как показательная функция $a^z > 0$ для любого действительного $z$ при $a>0$, то $u > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u^2 - uv = 28 \\ v^2 - vu = -12 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы: $$(u^2 - uv) + (v^2 - vu) = 28 - 12$$ $$u^2 - 2uv + v^2 = 16$$ $$(u-v)^2 = 16$$ Отсюда следует, что $u-v = 4$ или $u-v = -4$.

Рассмотрим оба случая. Для этого преобразуем уравнения системы, вынеся общий множитель: $$ \begin{cases} u(u-v) = 28 \\ v(v-u) = -12 \implies -v(u-v) = -12 \implies v(u-v) = 12 \end{cases} $$

Случай 1: $u-v=4$.
Подставим это выражение в первое преобразованное уравнение $u(u-v) = 28$. Получим $u \cdot 4 = 28$, откуда $u=7$.
Так как $u-v=4$, то $v = u - 4 = 7 - 4 = 3$.
Проверим условие $u > 0$. $7 > 0$, условие выполняется.
Проверим найденную пару $(u, v) = (7, 3)$ во втором преобразованном уравнении $v(u-v) = 12$: $3 \cdot (7-3) = 3 \cdot 4 = 12$. Равенство верно. Следовательно, пара $(u, v) = (7, 3)$ является решением.

Случай 2: $u-v=-4$.
Аналогично подставляем в уравнение $u(u-v) = 28$. Получим $u \cdot (-4) = 28$, откуда $u=-7$.
Это значение не удовлетворяет условию $u>0$, поэтому этот случай не дает решений.

Итак, единственное решение для $(u,v)$ это $(7, 3)$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$u = 7^y = 7 \implies 7^y = 7^1 \implies y=1$$ $$v = x = 3$$ Таким образом, решение системы: $(3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$.