Номер 33.43, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.43, страница 215.

33.43. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии существовала, необходимо выполнение условия $|q| < 1$.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ имеет вид:$S = \frac{b_1}{1-q}$

По условию задачи, сумма прогрессии равна 4, что дает нам первое уравнение:$\frac{b_1}{1-q} = 4$ (1)

Далее рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$.Эта последовательность также является бесконечной геометрической прогрессией. Её первый член равен $B_1 = b_1^3$, а знаменатель равен $Q = \frac{(b_1q)^3}{b_1^3} = q^3$.Так как $|q| < 1$, то $|Q| = |q^3| = |q|^3 < 1$, следовательно, эта прогрессия также сходящаяся.

Сумма $S_{кубов}$ этой новой прогрессии вычисляется по той же формуле:$S_{кубов} = \frac{B_1}{1-Q} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов членов равна 192, что дает нам второе уравнение:$\frac{b_1^3}{1-q^3} = 192$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 4 \\ \frac{b_1^3}{1-q^3} = 192 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:$b_1 = 4(1-q)$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение системы:$\frac{(4(1-q))^3}{1-q^3} = 192$

Возведем в куб и упростим:$\frac{4^3(1-q)^3}{1-q^3} = 192$$\frac{64(1-q)^3}{1-q^3} = 192$

Разделим обе части уравнения на 64:$\frac{(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{192}{64}$$\frac{(1-q)^3}{1-q^3} = 3$

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:$\frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = 3$

Поскольку $|q| < 1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = 3$

Раскроем скобки в числителе и решим полученное уравнение:$1 - 2q + q^2 = 3(1+q+q^2)$$1 - 2q + q^2 = 3 + 3q + 3q^2$$2q^2 + 5q + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$q_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$q_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверяем условие $|q| < 1$.Корень $q_1 = -2$ не удовлетворяет этому условию, так как $|-2| = 2 > 1$.Корень $q_2 = -0.5$ удовлетворяет условию, так как $|-0.5| = 0.5 < 1$.Следовательно, знаменатель прогрессии $q = -0.5$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$ из уравнения (1):$b_1 = 4(1-q) = 4(1 - (-0.5)) = 4(1 + 0.5) = 4 \cdot 1.5 = 6$.

Ответ: первый член прогрессии равен 6, знаменатель прогрессии равен -0.5.