Номер 34.4, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.4, страница 216.

34.4. a) $ \frac{ax - 5 - x}{x^2 - 4} = 0; $

б) $ \frac{ax + 6 - 2x}{x^2 - 9} = 0. $

а)

Исходное уравнение $\frac{ax - 5 - x}{x^2 - 4} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} ax - 5 - x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$ax - x - 5 = 0$

$x(a - 1) = 5$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$, то уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{5}{a-1}$.

2. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a=1$ корней нет.

Теперь решим неравенство из системы (область допустимых значений):

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь необходимо найти значения параметра $a$, при которых корень $x = \frac{5}{a-1}$ совпадает с недопустимыми значениями. Эти значения $a$ нужно будет исключить.

Пусть $x = 2$:

$\frac{5}{a-1} = 2$

$5 = 2(a-1)$

$5 = 2a - 2$

$7 = 2a$

$a = 3.5$

При $a=3.5$ корень числителя $x=2$ обращает знаменатель в ноль, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Пусть $x = -2$:

$\frac{5}{a-1} = -2$

$5 = -2(a-1)$

$5 = -2a + 2$

$3 = -2a$

$a = -1.5$

При $a=-1.5$ корень числителя $x=-2$ также обращает знаменатель в ноль, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=1$, $a=3.5$ и $a=-1.5$. Во всех остальных случаях оно имеет один корень.

Ответ: если $a=1$, $a=-1.5$ или $a=3.5$, то корней нет; если $a \neq 1$, $a \neq -1.5$ и $a \neq 3.5$, то $x = \frac{5}{a-1}$.

б)

Решим уравнение $\frac{ax + 6 - 2x}{x^2 - 9} = 0$. Оно эквивалентно системе:

$\begin{cases} ax + 6 - 2x = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы:

$ax - 2x + 6 = 0$

$x(a - 2) = -6$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень: $x = \frac{-6}{a-2}$ или $x = \frac{6}{2-a}$.

2. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -6$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a=2$ корней нет.

Теперь рассмотрим второе условие системы:

$x^2 - 9 \neq 0$

$(x-3)(x+3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Найдем значения параметра $a$, при которых корень $x = \frac{6}{2-a}$ совпадает с недопустимыми значениями $x=3$ или $x=-3$.

Пусть $x = 3$:

$\frac{6}{2-a} = 3$

$6 = 3(2-a)$

$6 = 6 - 3a$

$3a = 0$

$a = 0$

При $a=0$ корень числителя $x=3$ совпадает с корнем знаменателя, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Пусть $x = -3$:

$\frac{6}{2-a} = -3$

$6 = -3(2-a)$

$6 = -6 + 3a$

$12 = 3a$

$a = 4$

При $a=4$ корень числителя $x=-3$ также совпадает с корнем знаменателя, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=2$, $a=0$ и $a=4$. Во всех остальных случаях оно имеет один корень.

Ответ: если $a=0$, $a=2$ или $a=4$, то корней нет; если $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq 4$, то $x = \frac{6}{2-a}$.