Номер 34.7, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.7, страница 216.

34.7. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет ровно один корень;

в) не имеет корней?

Данное уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Количество его корней зависит от значения этого параметра. Для решения задачи необходимо рассмотреть два основных случая.

Случай 1: $a = 0$

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 0 + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

$4x = -5$

$x = - \frac{5}{4}$

В этом случае уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: $a \neq 0$

Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Количество его корней определяется знаком дискриминанта $D$.

Коэффициенты уравнения: старший коэффициент равен $a$, второй коэффициент $b=4$, свободный член $c=-a+5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 5) = 16 - 4a(-a+5) = 16 + 4a^2 - 20a$

Приведем дискриминант к стандартному виду и упростим:

$D = 4a^2 - 20a + 16 = 4(a^2 - 5a + 4)$

Знак дискриминанта зависит от знака выражения в скобках. Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 4 = 0$ относительно переменной $a$. По теореме Виета, его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Следовательно, дискриминант можно представить в виде:

$D = 4(a-1)(a-4)$

Теперь, объединяя оба случая, ответим на вопросы задачи.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Решим неравенство $D > 0$:

$4(a-1)(a-4) > 0$

$(a-1)(a-4) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Необходимо также учесть условие $a \neq 0$. Значение $a=0$ попадает в интервал $(-\infty; 1)$, поэтому его нужно исключить.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня при $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) имеет ровно один корень;

Уравнение имеет ровно один корень в следующих ситуациях:

1. Когда уравнение линейное, то есть при $a=0$. Как мы показали, в этом случае есть один корень $x = -5/4$.
2. Когда уравнение квадратное ($a \neq 0$) и его дискриминант равен нулю ($D=0$).

Найдем значения $a$, при которых $D=0$:

$4(a-1)(a-4) = 0$

Отсюда получаем $a=1$ или $a=4$. Оба этих значения удовлетворяют условию $a \neq 0$.

Объединяя все найденные значения, получаем, что уравнение имеет ровно один корень при $a \in \{0, 1, 4\}$.

Ответ: $a \in \{0; 1; 4\}$.

в) не имеет корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант отрицателен ($D < 0$). В случае $a=0$ корень существует, поэтому этот случай не подходит.

Решим неравенство $D < 0$:

$4(a-1)(a-4) < 0$

$(a-1)(a-4) < 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $1 < a < 4$.

На этом интервале условие $a \neq 0$ выполняется автоматически.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a \in (1; 4)$.

Ответ: $a \in (1; 4)$.