Номер 34.9, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.9, страница 216.

34.9. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра b, при котором уравнение имеет два корня:

a) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0.$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + Bx + C = 0$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = B^2 - 4aC$ строго больше нуля ($D > 0$). Если коэффициент при $x$ является четным числом ($B = 2k$), то для нахождения корней и анализа их количества удобнее использовать дискриминант, деленный на 4: $D/4 = k^2 - aC$. Условие наличия двух различных корней при этом остается тем же: $D/4 > 0$.

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $B=-2b$, $C=b^2-4b+3$.
Поскольку коэффициент при $x$ четный ($B = -2b$), воспользуемся формулой для $D/4$, где $k = B/2 = -b$.
$D/4 = k^2 - aC = (-b)^2 - 1 \cdot (b^2 - 4b + 3) = b^2 - (b^2 - 4b + 3) = b^2 - b^2 + 4b - 3 = 4b - 3$.
Уравнение имеет два различных корня при условии $D/4 > 0$:
$4b - 3 > 0$
$4b > 3$
$b > \frac{3}{4}$
Согласно условию задачи, необходимо найти наименьшее целочисленное значение параметра $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Наименьшее целое число, которое больше, чем $\frac{3}{4}$ (или 0.75), — это 1.
Ответ: 1.

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Его коэффициенты: $a=1$, $B=2(b-2)$, $C=b^2-10b+12$.
Коэффициент при $x$ является четным, поэтому применим формулу для $D/4$, где $k = B/2 = b-2$.
$D/4 = k^2 - aC = (b - 2)^2 - 1 \cdot (b^2 - 10b + 12) = (b^2 - 4b + 4) - (b^2 - 10b + 12)$.
$D/4 = b^2 - 4b + 4 - b^2 + 10b - 12 = 6b - 8$.
Условие наличия двух различных корней — $D/4 > 0$:
$6b - 8 > 0$
$6b > 8$
$b > \frac{8}{6}$
$b > \frac{4}{3}$
Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$. Так как $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, наименьшее целое число, которое больше $1\frac{1}{3}$, — это 2.
Ответ: 2.