Номер 34.15, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.15, страница 217.

34.15. При каких значениях $a$:

а) ось симметрии параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0);

б) ось симметрии параболы $y = 5x^2 - 2ax + 2$ пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)?

а)

Уравнение параболы задано в общем виде $y = Ax^2 + Bx + C$. Для параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ коэффициенты равны $A = 2$, $B = -3a$, $C = 2$.

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = x_0$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{B}{2A}$

Подставим коэффициенты данной параболы в формулу: $x_0 = -\frac{-3a}{2 \cdot 2} = \frac{3a}{4}$

Таким образом, уравнение оси симметрии для данной параболы: $x = \frac{3a}{4}$.

Согласно условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$. Это значит, что абсцисса оси симметрии должна быть меньше абсциссы указанной точки, то есть меньше $-3$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $\frac{3a}{4} < -3$

Умножим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0): $3a < -12$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0): $a < -4$

Ответ: $a < -4$.

б)

Рассмотрим параболу $y = 5x^2 - 2ax + 2$. Коэффициенты здесь: $A = 5$, $B = -2a$, $C = 2$.

Найдем абсциссу вершины этой параболы, чтобы определить положение ее оси симметрии: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-2a}{2 \cdot 5} = \frac{2a}{10} = \frac{a}{5}$

Уравнение оси симметрии: $x = \frac{a}{5}$.

По условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$. Это означает, что абсцисса оси симметрии должна быть больше абсциссы указанной точки, то есть больше $4$.

Составим и решим неравенство: $\frac{a}{5} > 4$

Умножим обе части неравенства на 5: $a > 20$

Ответ: $a > 20$.