Номер 34.23, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.23, страница 218.

•34.23. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $(a - 2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$ различны и:

а) положительны;

б) меньше числа 3;

в) отрицательны;

г) принадлежат интервалу $(1; 3)$?

Данное уравнение $(a-2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$ является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a-2 \neq 0$, откуда $a \neq 2$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Удобнее использовать четверть дискриминанта $D_1 = D/4$.

$D_1 = (-a)^2 - (a-2)(a+3) = a^2 - (a^2 + 3a - 2a - 6) = a^2 - a^2 - a + 6 = 6 - a$.

Условие $D_1 > 0$ дает нам неравенство $6 - a > 0$, откуда $a < 6$.

Таким образом, для всех пунктов задачи необходимым условием является наличие двух различных корней, что выполняется при $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.

Обозначим корни уравнения через $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2}$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2}$

Вершина параболы $f(x) = (a-2)x^2 - 2ax + a + 3$ находится в точке $x_v = -\frac{-2a}{2(a-2)} = \frac{a}{a-2}$.

---

а) корни положительны

Для того чтобы оба корня были положительными ($x_1 > 0, x_2 > 0$), должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$.
3. Произведение корней положительно: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Решим неравенства для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:

$\left((-\infty; 0) \cup (2; \infty)\right) \cap \left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) = (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Пересекая полученный результат с условием $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$, имеем:

$\left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) = (-\infty; -3) \cup (2; 6)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (2; 6)$.

---

б) корни меньше числа 3

Для того чтобы оба корня были меньше 3 ($x_1 < 3, x_2 < 3$), необходимо и достаточно выполнение следующих условий (рассматривая график параболы $y=f(x)$):

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Вершина параболы находится левее точки $x=3$: $x_v < 3$.
3. Значение функции в точке $x=3$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(3) > 0$.

Решим соответствующие неравенства:

$x_v = \frac{a}{a-2} < 3 \Rightarrow \frac{a}{a-2} - 3 < 0 \Rightarrow \frac{a - 3(a-2)}{a-2} < 0 \Rightarrow \frac{-2a+6}{a-2} < 0 \Rightarrow \frac{a-3}{a-2} > 0$.

Решением этого неравенства является $a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Найдем $f(3)$: $f(3) = (a-2) \cdot 3^2 - 2a \cdot 3 + a + 3 = 9(a-2) - 6a + a + 3 = 9a - 18 - 5a + 3 = 4a - 15$.

Условие $(a-2) \cdot f(3) > 0$ принимает вид $(a-2)(4a-15) > 0$. Корни этого выражения $a=2$ и $a=15/4=3.75$. Решением неравенства является $a \in (-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Найдем пересечение всех условий:

$\left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (3; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right)$.

Пересечение второго и третьего множеств: $(-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Пересекая это с первым условием: $\left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) = (-\infty; 2) \cup (15/4; 6)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (\frac{15}{4}; 6)$.

---

в) корни отрицательны

Для того чтобы оба корня были отрицательными ($x_1 < 0, x_2 < 0$), должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$.
3. Произведение корней положительно: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Решим неравенства для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2} < 0$. Методом интервалов получаем $a \in (0; 2)$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Найдем пересечение условий для суммы и произведения: $(0; 2) \cap \left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) = \emptyset$.

Так как система условий не имеет решений, таких значений параметра $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

---

г) корни принадлежат интервалу (1; 3)

Для того чтобы оба корня принадлежали интервалу (1; 3), то есть $1 < x_1 < 3$ и $1 < x_2 < 3$, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Вершина параболы находится в интервале (1; 3): $1 < x_v < 3$.
3. Значение функции в точке $x=1$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(1) > 0$.
4. Значение функции в точке $x=3$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(3) > 0$.

Решим соответствующие неравенства:

1. $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.

2. $1 < \frac{a}{a-2} < 3$.

$\frac{a}{a-2} > 1 \Rightarrow \frac{a - (a-2)}{a-2} > 0 \Rightarrow \frac{2}{a-2} > 0 \Rightarrow a > 2$.

$\frac{a}{a-2} < 3 \Rightarrow \frac{a-3}{a-2} > 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Пересечение этих двух условий дает $a > 3$.

3. Найдем $f(1)$: $f(1) = (a-2) \cdot 1^2 - 2a \cdot 1 + a + 3 = a - 2 - 2a + a + 3 = 1$.

Условие $(a-2) \cdot f(1) > 0$ принимает вид $(a-2) \cdot 1 > 0$, откуда $a > 2$.

4. Из пункта б) мы знаем, что $f(3) = 4a - 15$. Условие $(a-2) \cdot f(3) > 0$ дает $(a-2)(4a-15) > 0$, что выполняется при $a \in (-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех найденных условий:

$\left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) \cap (3; \infty) \cap (2; \infty) \cap \left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right)$.

Объединяем все условия: $a < 6$ и $a > 3$ и $a > 2$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$).

Совокупность условий $a > 3$ и $a > 2$ эквивалентна $a > 3$.

Получаем систему: $a < 6$ и $a > 3$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$).

Так как $15/4 = 3.75$, пересечение $a > 3$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$) дает $a > 15/4$.

Остается система: $a < 6$ и $a > 15/4$.

Итоговое решение: $a \in (15/4; 6)$.

Ответ: $a \in (\frac{15}{4}; 6)$.