Номер 31.12, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.12, страница 199.

31.12. $a^2b^2c^2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge 6a^2b^2c^2$

Сделаем замену переменных: $x = a^2$, $y = b^2$, $z = c^2$. Поскольку $a, b, c$ — действительные числа, то $x, y, z$ — неотрицательные действительные числа ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$). Исходное неравенство $a^2b^2c^2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge 6a^2b^2c^2$ принимает вид:

$xyz(x+y+z) + xy + yz + zx \ge 6xyz$.

Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай: хотя бы одна из переменных $a, b, c$ равна нулю. Это эквивалентно тому, что хотя бы одна из переменных $x, y, z$ равна нулю. Пусть для определенности $c=0$, тогда и $z=0$. Неравенство превращается в:

$x \cdot y \cdot 0 \cdot (x+y+0) + xy + y \cdot 0 + 0 \cdot x \ge 6 \cdot x \cdot y \cdot 0$

$0 + xy + 0 + 0 \ge 0$

$xy \ge 0$

Так как $x=a^2 \ge 0$ и $y=b^2 \ge 0$, их произведение $xy$ также неотрицательно. Таким образом, в этом случае неравенство верно.

Второй случай: все переменные $a, b, c$ отличны от нуля. Это означает, что $x > 0, y > 0, z > 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства $xyz(x+y+z) + xy + yz + zx \ge 6xyz$ на положительное число $xyz$:

$\frac{xyz(x+y+z)}{xyz} + \frac{xy}{xyz} + \frac{yz}{xyz} + \frac{zx}{xyz} \ge \frac{6xyz}{xyz}$

$x+y+z + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \ge 6$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$(x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y}) + (z + \frac{1}{z}) \ge 6$

Для любого положительного числа $k$ по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) имеем $k + \frac{1}{k} \ge 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$.

Применяя это неравенство для положительных $x, y, z$, получаем:

$x + \frac{1}{x} \ge 2$

$y + \frac{1}{y} \ge 2$

$z + \frac{1}{z} \ge 2$

Складывая эти три неравенства, получаем требуемое:

$(x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y}) + (z + \frac{1}{z}) \ge 2 + 2 + 2 = 6$

Таким образом, неравенство доказано для всех действительных $a, b, c$.

Теперь определим, когда достигается равенство. В первом случае (например, $z=0$) равенство $xy \ge 0$ достигается, когда $xy=0$, то есть когда $x=0$ или $y=0$. Это означает, что если одна переменная равна нулю (например, $c=0$), то для равенства необходимо, чтобы еще одна переменная была равна нулю (например, $a=0$ или $b=0$). Таким образом, равенство достигается, если как минимум две из переменных $a, b, c$ равны нулю.

Во втором случае равенство достигается, когда $x + \frac{1}{x} = 2$, $y + \frac{1}{y} = 2$ и $z + \frac{1}{z} = 2$ одновременно. Это возможно только при $x=1, y=1, z=1$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем $a^2=1, b^2=1, c^2=1$, что означает $|a|=1, |b|=1, |c|=1$.

Ответ: Неравенство доказано. Равенство достигается в двух случаях: 1) когда $|a|=|b|=|c|=1$; 2) когда как минимум две из трех переменных $a, b, c$ равны нулю.