Номер 31.13, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.13, страница 199.

31.13. a) $x^2 + \frac{25}{4x^2} \ge 5$ $(x \ne 0);$

б) $\frac{z^2 + 10}{\sqrt{z^2 + 9}} \ge 2;$

В) $x^2 y^2 + \frac{z^2}{y^2} \ge 2xz$ $(y \ne 0);$

Г) $\frac{6\sqrt{c^2 + 3}}{c^2 + 12} \le 1.$

а) Докажем неравенство $x^2 + \frac{25}{4x^2} \ge 5$ при $x \neq 0$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Так как по условию $x \neq 0$, то $4x^2 > 0$, и мы можем умножить неравенство на $4x^2$ или привести к общему знаменателю, не меняя знака неравенства.

$x^2 - 5 + \frac{25}{4x^2} \ge 0$

$\frac{4x^4 - 20x^2 + 25}{4x^2} \ge 0$

Рассмотрим числитель дроби. Он представляет собой формулу квадрата разности:

$4x^4 - 20x^2 + 25 = (2x^2)^2 - 2 \cdot (2x^2) \cdot 5 + 5^2 = (2x^2 - 5)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$\frac{(2x^2 - 5)^2}{4x^2} \ge 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому числитель $(2x^2 - 5)^2 \ge 0$. Знаменатель $4x^2$ строго положителен, так как $x \neq 0$. Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство верно для всех $x \neq 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\frac{z^2 + 10}{\sqrt{z^2 + 9}} \ge 2$.

Область определения неравенства — все действительные числа $z$, так как подкоренное выражение $z^2 + 9$ всегда положительно ($z^2 \ge 0 \implies z^2+9 \ge 9$). Преобразуем левую часть неравенства, выделив в числителе выражение из знаменателя:

$\frac{z^2 + 10}{\sqrt{z^2 + 9}} = \frac{(z^2 + 9) + 1}{\sqrt{z^2 + 9}} = \frac{z^2 + 9}{\sqrt{z^2 + 9}} + \frac{1}{\sqrt{z^2 + 9}} = \sqrt{z^2 + 9} + \frac{1}{\sqrt{z^2 + 9}}$

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{z^2 + 9}$. Тогда выражение принимает вид $t + \frac{1}{t}$.

Поскольку $t = \sqrt{z^2+9} > 0$, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $t$ и $\frac{1}{t}$:

$t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2\sqrt{1} = 2$

Таким образом, $\sqrt{z^2 + 9} + \frac{1}{\sqrt{z^2 + 9}} \ge 2$, что доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $x^2y^2 + \frac{z^2}{y^2} \ge 2xz$ при $y \neq 0$.

Перенесем член $2xz$ из правой части в левую:

$x^2y^2 - 2xz + \frac{z^2}{y^2} \ge 0$

Заметим, что левая часть этого неравенства является полным квадратом разности. Действительно:

$x^2y^2 = (xy)^2$

$\frac{z^2}{y^2} = \left(\frac{z}{y}\right)^2$

А член $-2xz$ является удвоенным произведением выражений $xy$ и $\frac{z}{y}$ со знаком минус:

$-2 \cdot (xy) \cdot \left(\frac{z}{y}\right) = -2xz$

Следовательно, левую часть можно свернуть по формуле квадрата разности:

$(xy)^2 - 2(xy)\left(\frac{z}{y}\right) + \left(\frac{z}{y}\right)^2 = \left(xy - \frac{z}{y}\right)^2$

Неравенство принимает вид:

$\left(xy - \frac{z}{y}\right)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку при $y \neq 0$ выражение в скобках является действительным числом, это неравенство справедливо для любых $x, z$ и $y \neq 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $\frac{6\sqrt{c^2+3}}{c^2+12} \le 1$.

Для любого действительного числа $c$ имеем $c^2 \ge 0$. Поэтому знаменатель $c^2+12 \ge 12$, то есть он всегда положителен. Также числитель $6\sqrt{c^2+3}$ неотрицателен. Поэтому мы можем производить равносильные преобразования неравенства.

Умножим обе части неравенства на положительное выражение $c^2+12$:

$6\sqrt{c^2+3} \le c^2+12$

Обе части полученного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(6\sqrt{c^2+3})^2 \le (c^2+12)^2$

$36(c^2+3) \le (c^2)^2 + 2 \cdot c^2 \cdot 12 + 12^2$

$36c^2 + 108 \le c^4 + 24c^2 + 144$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 \le c^4 + 24c^2 - 36c^2 + 144 - 108$

$0 \le c^4 - 12c^2 + 36$

Выражение в правой части является полным квадратом:

$c^4 - 12c^2 + 36 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 6 + 6^2 = (c^2 - 6)^2$

В итоге мы приходим к неравенству:

$0 \le (c^2 - 6)^2$

Это неравенство верно для любого действительного числа $c$, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.