Номер 31.6, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.6, страница 199.

31.6. а) $a = \log_{3.1} 2$, $b = \log_{3.2} 2$;

б) $a = \log_{0.2} 37.2$, $b = \log_{0.3} 37.2$;

в) $a = \log_{5.4} 0.3$, $b = \log_{5.3} 0.3$;

г) $a = \log_{0.22} 0.7$, $b = \log_{0.33} 0.7$.

а)

Сравним числа $a = \log_{3,1} 2$ и $b = \log_{3,2} 2$.

В обоих выражениях аргумент логарифма одинаков и равен 2, а основания различны. Для сравнения этих чисел рассмотрим поведение функции $y = \log_k x$ в зависимости от основания $k$ при фиксированном аргументе $x$.

В данном случае аргумент $x = 2$, что больше 1. Для $x > 1$ функция $y = \log_k x$ является убывающей функцией по основанию $k$ (как для $k>1$, так и для $0<k<1$). Это означает, что большему значению основания соответствует меньшее значение логарифма.

Сравним основания: $3,2 > 3,1$.

Поскольку функция убывающая, из $3,2 > 3,1$ следует, что $\log_{3,2} 2 < \log_{3,1} 2$.

Таким образом, $b < a$.

Ответ: $a > b$.

б)

Сравним числа $a = \log_{0,2} 37,2$ и $b = \log_{0,3} 37,2$.

Аргумент логарифмов $x = 37,2$, что больше 1. Основания $k_a = 0,2$ и $k_b = 0,3$ принадлежат интервалу $(0, 1)$.

Как и в предыдущем пункте, для аргумента $x > 1$ функция $y = \log_k x$ является убывающей функцией по основанию $k$. Это свойство верно и для оснований из интервала $(0, 1)$.

Сравним основания: $0,3 > 0,2$.

Так как функция убывающая, большему основанию ($0,3$) будет соответствовать меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{0,3} 37,2 < \log_{0,2} 37,2$.

Таким образом, $b < a$.

Ответ: $a > b$.

в)

Сравним числа $a = \log_{5,4} 0,3$ и $b = \log_{5,3} 0,3$.

Аргумент логарифмов $x = 0,3$, что находится в интервале $(0, 1)$. Основания $k_a = 5,4$ и $k_b = 5,3$ больше 1.

Для аргумента $x$, такого что $0 < x < 1$, функция $y = \log_k x$ является возрастающей функцией по основанию $k$ (как для $k>1$, так и для $0<k<1$). Это означает, что большему значению основания соответствует большее значение логарифма.

Сравним основания: $5,4 > 5,3$.

Поскольку функция возрастающая, из $5,4 > 5,3$ следует, что $\log_{5,4} 0,3 > \log_{5,3} 0,3$.

Таким образом, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

г)

Сравним числа $a = \log_{0,22} 0,7$ и $b = \log_{0,33} 0,7$.

Аргумент логарифмов $x = 0,7$, что находится в интервале $(0, 1)$. Основания $k_a = 0,22$ и $k_b = 0,33$ также принадлежат интервалу $(0, 1)$.

Как и в предыдущем пункте, для аргумента $x$ из интервала $(0, 1)$ функция $y = \log_k x$ является возрастающей функцией по основанию $k$. Это свойство верно и для оснований из интервала $(0, 1)$.

Сравним основания: $0,33 > 0,22$.

Так как функция возрастающая, большему основанию ($0,33$) будет соответствовать большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{0,33} 0,7 > \log_{0,22} 0,7$.

Таким образом, $b > a$.

Ответ: $a < b$.