Номер 31.10, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.10, страница 199.

31.10. а) $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2 (x \ne 0);$

б) $\frac{a^4}{1 + a^8} \le \frac{1}{2}.$

а) Требуется доказать неравенство $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$ при условии $x \ne 0$.

Для доказательства преобразуем данное неравенство. Перенесем 2 в левую часть:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \ge 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности. Вспомним формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, если взять $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$, то левая часть неравенства сворачивается в квадрат:

$(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$

Это неравенство является верным для любого действительного значения $x \ne 0$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Равенство $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$ достигается тогда, когда $(x - \frac{1}{x})^2 = 0$, то есть при $x - \frac{1}{x} = 0$. Отсюда $x = \frac{1}{x}$, или $x^2 = 1$, что дает решения $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $\frac{a^4}{1 + a^8} \le \frac{1}{2}$ для любого действительного $a$.

Так как $a^8 = (a^4)^2 \ge 0$, знаменатель дроби $1+a^8$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $2(1 + a^8)$, знак неравенства при этом не изменится:

$2 \cdot a^4 \le 1 \cdot (1 + a^8)$

$2a^4 \le 1 + a^8$

Перенесем $2a^4$ в правую часть:

$0 \le 1 - 2a^4 + a^8$

Правая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат разности. Вспомним формулу $(k-m)^2 = k^2 - 2km + m^2$.

В нашем случае, если взять $k = 1$ и $m = a^4$, то правая часть сворачивается в квадрат:

$0 \le (1 - a^4)^2$

Это неравенство является верным для любого действительного числа $a$, так как $a^4$ - действительное число, и квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Равенство $\frac{a^4}{1 + a^8} = \frac{1}{2}$ достигается тогда, когда $(1 - a^4)^2 = 0$, то есть при $1 - a^4 = 0$. Отсюда $a^4 = 1$, что дает решения $a=1$ и $a=-1$.

Ответ: Неравенство доказано.