Номер 30.63, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.63, страница 198.

30.63. Решите уравнение:

a) $\sqrt{1 - \tan x} = - \frac{1}{\cos x}$;

б) $\sqrt{4 + \cot x} - \frac{2}{\sin x} = 0$.

а) $\sqrt{1 - \tg x} = -\frac{1}{\cos x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \tg x \ge 0$, откуда $\tg x \le 1$.
2. Знаменатель $\cos x$ не должен быть равен нулю, что уже учтено в определении тангенса.
3. Левая часть уравнения $\sqrt{1 - \tg x}$ является неотрицательной по определению арифметического квадратного корня. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-\frac{1}{\cos x} \ge 0$. Это неравенство равносильно $\frac{1}{\cos x} \le 0$, что выполняется только при $\cos x < 0$.

Таким образом, для решения уравнения необходимо выполнение двух условий: $\tg x \le 1$ и $\cos x < 0$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{1 - \tg x})^2 = (-\frac{1}{\cos x})^2$

$1 - \tg x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ и подставим его в уравнение:

$1 - \tg x = 1 + \tg^2 x$

Перенесем все члены в правую часть:

$\tg^2 x + \tg x = 0$

Вынесем $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\tg x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\tg x = 0$.
Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x < 0$.
$\cos(\pi n) = (-1)^n$. Неравенство $\cos x < 0$ выполняется, когда $n$ является нечетным числом. Следовательно, решения этого случая: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x + 1 = 0$, то есть $\tg x = -1$.
Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\cos x < 0$.
Косинус отрицателен во второй и третьей четвертях. Из серии решений $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ этому условию удовлетворяют углы во второй четверти. Это $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для этих углов $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

б) $\sqrt{4 + \ctg x} - \frac{2}{\sin x} = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$\sqrt{4 + \ctg x} = \frac{2}{\sin x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 + \ctg x \ge 0$, откуда $\ctg x \ge -4$.
2. Знаменатель $\sin x$ не должен быть равен нулю, что уже учтено в определении котангенса.
3. Левая часть уравнения $\sqrt{4 + \ctg x}$ неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{\sin x} \ge 0$. Так как числитель $2$ положителен, это условие выполняется при $\sin x > 0$.

Таким образом, для решения уравнения необходимо выполнение двух условий: $\ctg x \ge -4$ и $\sin x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 + \ctg x})^2 = (\frac{2}{\sin x})^2$

$4 + \ctg x = \frac{4}{\sin^2 x}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$4 + \ctg x = 4(1 + \ctg^2 x)$

$4 + \ctg x = 4 + 4\ctg^2 x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$4\ctg^2 x - \ctg x = 0$

Вынесем $\ctg x$ за скобки:

$\ctg x (4\ctg x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\ctg x = 0$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x > 0$.
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = 1 > 0$, условие выполняется.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $\sin x = -1 < 0$, условие не выполняется.
Следовательно, подходят решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\ctg x - 1 = 0$, то есть $\ctg x = \frac{1}{4}$.
Решения этого уравнения: $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение условия ОДЗ $\sin x > 0$.
Угол $\operatorname{arcctg}(\frac{1}{4})$ находится в первой четверти, где синус положителен. Значит, серия решений $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k$ (углы в первой четверти) удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Серия решений $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + (2k+1)\pi$ (углы в третьей четверти) не удовлетворяет условию $\sin x > 0$.
Следовательно, подходят решения $x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \operatorname{arcctg}(\frac{1}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.