Номер 30.44, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.44, страница 195.

30.44. Для каждого значения параметра a решите неравенство:

a) $\sqrt{x + 2} > \sqrt{2a - x};$

б) $\sqrt{x - 2a} \ge \sqrt{4 + 2a - 5x};$

в) $\sqrt{5a - 2x + 1} < \sqrt{6x - a - 7};$

г) $\sqrt{4 - x^2} \le \sqrt{4x + a}.$

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{x + 2} > \sqrt{2a - x}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение под меньшим корнем неотрицательно, и после возведения в квадрат неравенство сохраняется:

$ \begin{cases} x + 2 > 2a - x \\ 2a - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 2x > 2a - 2 \\ x \le 2a \end{cases} $

$ \begin{cases} x > a - 1 \\ x \le 2a \end{cases} $

Решением системы является интервал $x \in (a-1, 2a]$.

Такой интервал существует (не является пустым множеством) только тогда, когда его левая граница меньше правой:

$a - 1 < 2a$

$-1 < a$

Если $a \le -1$, то $a-1 \ge 2a$, и интервал $(a-1, 2a]$ пуст, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a \le -1$, то решений нет; если $a > -1$, то $x \in (a-1, 2a]$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{x - 2a} \ge \sqrt{4 + 2a - 5x}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x - 2a \ge 4 + 2a - 5x \\ 4 + 2a - 5x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 6x \ge 4a + 4 \\ 2a + 4 \ge 5x \end{cases} $

$ \begin{cases} x \ge \frac{2a + 2}{3} \\ x \le \frac{2a + 4}{5} \end{cases} $

Решением системы является отрезок $x \in [\frac{2a + 2}{3}, \frac{2a + 4}{5}]$.

Такой отрезок существует (не является пустым множеством) только тогда, когда его левая граница не больше правой:

$\frac{2a + 2}{3} \le \frac{2a + 4}{5}$

$5(2a + 2) \le 3(2a + 4)$

$10a + 10 \le 6a + 12$

$4a \le 2$

$a \le \frac{1}{2}$

Если $a > \frac{1}{2}$, то левая граница отрезка становится больше правой, и решений нет.

Ответ: если $a > \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a \le \frac{1}{2}$, то $x \in [\frac{2a + 2}{3}, \frac{2a + 4}{5}]$.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt{5a - 2x + 1} < \sqrt{6x - a - 7}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, где подкоренное выражение под меньшим корнем неотрицательно, и после возведения в квадрат неравенство сохраняется:

$ \begin{cases} 5a - 2x + 1 < 6x - a - 7 \\ 5a - 2x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 6a + 8 < 8x \\ 5a + 1 \ge 2x \end{cases} $

$ \begin{cases} x > \frac{3a + 4}{4} \\ x \le \frac{5a + 1}{2} \end{cases} $

Решением системы является полуинтервал $x \in (\frac{3a + 4}{4}, \frac{5a + 1}{2}]$.

Такой полуинтервал существует только тогда, когда его левая граница строго меньше правой:

$\frac{3a + 4}{4} < \frac{5a + 1}{2}$

$3a + 4 < 2(5a + 1)$

$3a + 4 < 10a + 2$

$2 < 7a$

$a > \frac{2}{7}$

Если $a \le \frac{2}{7}$, то левая граница не меньше правой, и решений нет.

Ответ: если $a \le \frac{2}{7}$, то решений нет; если $a > \frac{2}{7}$, то $x \in (\frac{3a + 4}{4}, \frac{5a + 1}{2}]$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{4 - x^2} \le \sqrt{4x + a}$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$ \begin{cases} 4 - x^2 \le 4x + a \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство, чтобы определить область допустимых значений $x$:

$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.

Теперь решим первое неравенство на отрезке $x \in [-2, 2]$:

$0 \le x^2 + 4x + a - 4$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + 4x + a - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_v = -\frac{4}{2} = -2$.

На отрезке $[-2, 2]$ функция $f(x)$ возрастает. Ее наименьшее значение на этом отрезке равно $f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + a - 4 = a - 8$, а наибольшее $f(2) = 2^2 + 4(2) + a - 4 = a + 8$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < -8$, то $a+8 < 0$. Наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-2, 2]$ отрицательно, значит, неравенство $f(x) \ge 0$ не имеет решений.

2. Если $a \ge 8$, то $a-8 \ge 0$. Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-2, 2]$ неотрицательно, значит, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется для всех $x \in [-2, 2]$.

3. Если $-8 \le a < 8$. В этом случае $f(-2) < 0$, а $f(2) \ge 0$. Так как $f(x)$ возрастает, решение неравенства $f(x) \ge 0$ будет представлять собой отрезок, правый конец которого равен 2, а левый — корень уравнения $x^2 + 4x + a - 4 = 0$. Найдем корни:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(a-4)}}{2} = -2 \pm \sqrt{8-a}$.

Решением неравенства $x^2 + 4x + a - 4 \ge 0$ является объединение $(-\infty, -2 - \sqrt{8-a}] \cup [-2 + \sqrt{8-a}, \infty)$.

Пересекая это решение с отрезком $[-2, 2]$, получаем $x \in [-2 + \sqrt{8-a}, 2]$.

Ответ: если $a < -8$, то решений нет; если $-8 \le a < 8$, то $x \in [-2 + \sqrt{8-a}, 2]$; если $a \ge 8$, то $x \in [-2, 2]$.