Номер 30.38, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.38, страница 195.

30.38. Найдите все действительные значения $a$, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение:

a) $\sqrt{x-4} < 2-a$;

б) $\sqrt{16-x^2} < a+1$.

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x-4} < 2-a$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$.

2. Проанализируем левую и правую части неравенства.
Левая часть, $f(x) = \sqrt{x-4}$, является неотрицательной функцией. Ее область значений на ОДЗ: $[0, +\infty)$. Наименьшее значение левой части равно 0 и достигается при $x=4$.

3. Для того чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, правая часть $2-a$ должна быть строго больше, чем какое-либо из значений, принимаемых левой частью. Поскольку наименьшее значение левой части равно 0, необходимо, чтобы правая часть была больше 0.
$2-a > 0$
$a < 2$

4. Проверим, является ли это условие достаточным. Если $a < 2$, то $2-a > 0$. В этом случае обе части неравенства $\sqrt{x-4} < 2-a$ неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$x-4 < (2-a)^2$
$x < (2-a)^2 + 4$

5. Теперь нам нужно найти хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее системе неравенств, состоящей из ОДЗ и полученного неравенства:
$\begin{cases} x \ge 4 \\ x < (2-a)^2 + 4 \end{cases}$
Такая система имеет решение тогда и только тогда, когда правая граница интервала больше левой:
$4 < (2-a)^2 + 4$
$0 < (2-a)^2$
Квадрат выражения $(2-a)$ положителен при любом $a$, кроме того, при котором $2-a=0$, то есть $a \neq 2$.

6. Объединим полученные условия на $a$.
Из шага 3 мы получили $a < 2$.
Из шага 5 мы получили $a \neq 2$.
Оба условия выполняются одновременно при $a < 2$. Таким образом, при $a < 2$ неравенство всегда будет иметь решения.

Ответ: $a \in (-\infty; 2)$.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{16-x^2} < a+1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $16-x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 16$, то есть $-4 \le x \le 4$.

2. Проанализируем левую часть неравенства.
Пусть $f(x) = \sqrt{16-x^2}$. Найдем область значений этой функции на ОДЗ.
Наименьшее значение $f(x)$ равно 0 и достигается при $x = \pm 4$.
Наибольшее значение $f(x)$ равно $\sqrt{16-0^2} = 4$ и достигается при $x=0$.
Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $[0, 4]$.

3. Неравенство $\sqrt{16-x^2} < a+1$ будет иметь хотя бы одно решение, если правая часть $a+1$ будет строго больше, чем наименьшее значение левой части.
Наименьшее значение левой части равно 0. Следовательно, должно выполняться условие:
$a+1 > 0$
$a > -1$

4. Проверим, является ли это условие достаточным.
Если $a > -1$, то $a+1 > 0$. Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$16-x^2 < (a+1)^2$
$x^2 > 16 - (a+1)^2$

5. Нам нужно найти хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее системе, состоящей из ОДЗ и полученного неравенства:
$\begin{cases} -4 \le x \le 4 \\ x^2 > 16 - (a+1)^2 \end{cases}$
Первое условие эквивалентно $0 \le x^2 \le 16$. Система примет вид:
$\begin{cases} x^2 \le 16 \\ x^2 > 16 - (a+1)^2 \end{cases}$
Чтобы существовало решение для $x^2$, нужно, чтобы интервал $(16 - (a+1)^2, 16]$ был непустым. Для этого его левая граница должна быть меньше правой:
$16 - (a+1)^2 < 16$
$-(a+1)^2 < 0$
$(a+1)^2 > 0$
Это неравенство справедливо для всех $a$, кроме $a = -1$.

6. Объединим полученные условия на $a$.
Из шага 3 мы получили $a > -1$.
Из шага 5 мы получили $a \neq -1$.
Оба условия выполняются одновременно при $a > -1$. Таким образом, при $a > -1$ неравенство всегда будет иметь решения.

Ответ: $a \in (-1; +\infty)$.