Номер 30.39, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.39, страница 195.

30.39. Найдите все действительные значения a, при каждом из которых неравенство не имеет решений:

а) $\sqrt{x-4} \ge 2-a;$

б) $\sqrt{16-x^2} \ge a+1.$

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x - 4} \ge 2 - a$. Задача состоит в том, чтобы найти все значения $a$, при которых это неравенство не имеет решений. Это равносильно тому, что для всех $x$ из области определения неравенства выполняется строгое обратное неравенство: $\sqrt{x - 4} < 2 - a$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. По определению квадратного корня, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x - 4}$ на ее области определения. Когда $x$ изменяется от $4$ до $+\infty$, значение $f(x)$ изменяется от $\sqrt{4-4}=0$ до $+\infty$. Таким образом, множество значений функции $f(x)$ есть промежуток $[0, +\infty)$.

Условие отсутствия решений у исходного неравенства ($\sqrt{x - 4} < 2 - a$ для всех $x \ge 4$) означает, что число $2 - a$ должно быть строго больше любого значения, которое принимает функция $f(x)$. То есть, $2-a$ должно быть больше любого числа из промежутка $[0, +\infty)$.

Однако множество $[0, +\infty)$ не ограничено сверху. Это означает, что не существует такого числа, которое было бы больше всех чисел из этого множества. Следовательно, не существует такого значения $2-a$, а значит, и такого $a$, которое удовлетворяло бы этому условию. Таким образом, при любом действительном значении $a$ исходное неравенство всегда будет иметь решения.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{16 - x^2} \ge a + 1$. Неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда для всех допустимых значений $x$ выполняется строгое обратное неравенство: $\sqrt{16 - x^2} < a + 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $16 - x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 16$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-4, 4]$.

Теперь определим множество значений функции $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$ на ее области определения $x \in [-4, 4]$. Минимальное значение функции равно 0 (при $x = \pm 4$), а максимальное значение равно 4 (при $x = 0$). Так как функция $f(x)$ непрерывна, ее множество значений на отрезке $[-4, 4]$ есть отрезок $[0, 4]$.

Условие $\sqrt{16 - x^2} < a + 1$ должно выполняться для всех $x \in [-4, 4]$. Это означает, что число $a+1$ должно быть строго больше любого значения из множества $[0, 4]$. Для этого достаточно, чтобы $a+1$ было больше максимального значения из этого множества.

$a + 1 > \max_{x \in [-4, 4]} (\sqrt{16 - x^2})$
$a + 1 > 4$
$a > 3$

При $a > 3$ неравенство $\sqrt{16 - x^2} < a + 1$ будет верным для всех $x$ из ОДЗ, так как левая часть не превосходит 4, а правая строго больше 4. Следовательно, исходное неравенство $\sqrt{16 - x^2} \ge a + 1$ не будет иметь решений.

Ответ: $a \in (3; +\infty)$.