Номер 30.29, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.29, страница 193.

30.29. a) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} = 6 - 16x;$

б) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} = 20 - x + \sqrt{17 - x}.$

a)

Дано уравнение: $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} = 6 - 16x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x + \frac{7}{8} \ge 0 \implies x \ge -\frac{7}{8}$

$8x + 3 \ge 0 \implies 8x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{8}$

Выражение под знаком кубического корня определено для любого $x$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -\frac{3}{8}$.

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$.
Эта функция является суммой трех возрастающих функций ($\sqrt{x + \frac{7}{8}}$, $\sqrt{8x + 3}$ и $2\sqrt[3]{x}$) на всей области определения. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей функцией.

Правая часть: $g(x) = 6 - 16x$.
Эта функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-16$), поэтому она строго убывает.

Так как строго возрастающая функция и строго убывающая функция могут пересечься не более чем в одной точке, данное уравнение имеет не более одного решения.

Попробуем найти это решение подбором. Выражения $8x+3$ и $\sqrt[3]{x}$ наводят на мысль проверить значение $x$, которое упростит эти члены, например $x = \frac{1}{8}$.

Проверим, является ли $x = \frac{1}{8}$ корнем уравнения. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{8} \ge -\frac{3}{8}$.

Подставим $x = \frac{1}{8}$ в левую часть уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{7}{8}} + \sqrt{8 \cdot \frac{1}{8} + 3} + 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt{1} + \sqrt{1 + 3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{4} + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.

Подставим $x = \frac{1}{8}$ в правую часть уравнения:

$6 - 16 \cdot \frac{1}{8} = 6 - 2 = 4$.

Поскольку левая и правая части равны (4 = 4), $x = \frac{1}{8}$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} = 20 - x + \sqrt{17 - x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$

$17 - x \ge 0 \implies x \le 17$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

Преобразуем уравнение, сгруппировав члены так, чтобы в одной части оказались возрастающие функции, а в другой — убывающие.

$\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x = 20 + \sqrt{17 - x}$.

Рассмотрим левую и правую части полученного уравнения как две функции.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x$.
Все слагаемые ($\sqrt{3x + 1}$, $5\sqrt[3]{x}$, $x$) являются возрастающими функциями на ОДЗ. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией.

Правая часть: $g(x) = 20 + \sqrt{17 - x}$.
Функция $\sqrt{17-x}$ является убывающей, так как подкоренное выражение $17-x$ убывает при росте $x$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей.

Уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая функция, имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Наличие $\sqrt[3]{x}$ подсказывает, что $x$ может быть целым числом, являющимся полным кубом. Проверим $x=8$.

Значение $x=8$ входит в ОДЗ: $-\frac{1}{3} \le 8 \le 17$.

Подставим $x=8$ в левую часть преобразованного уравнения:

$f(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} + 5\sqrt[3]{8} + 8 = \sqrt{24+1} + 5 \cdot 2 + 8 = \sqrt{25} + 10 + 8 = 5 + 10 + 8 = 23$.

Подставим $x=8$ в правую часть:

$g(8) = 20 + \sqrt{17 - 8} = 20 + \sqrt{9} = 20 + 3 = 23$.

Так как $f(8) = g(8)$, значение $x=8$ является решением. В силу единственности, это единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 8$.