Номер 9, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Объяснение основывается на геометрическом смысле производной. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. В свою очередь, угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan\alpha$.

Таким образом, чтобы найти угол наклона касательной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y = \ln x$. Производная натурального логарифма: $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

2. Вычислить значение производной в точке касания $x = 1$. Это значение будет равно угловому коэффициенту $k$ касательной в этой точке. $k = y'(1) = \frac{1}{1} = 1$

3. Найти угол $\alpha$, зная, что его тангенс равен угловому коэффициенту. $\tan\alpha = k = 1$

Уравнение $\tan\alpha = 1$ имеет решение $\alpha = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах) для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Следовательно, поскольку производная функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ равна 1, тангенс угла наклона касательной в этой точке также равен 1, а сам угол равен $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Производная функции $y = \ln x$ есть $y' = \frac{1}{x}$. В точке $x = 1$ значение производной равно $y'(1) = \frac{1}{1} = 1$. Поскольку угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла ее наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс ($k = \tan \alpha$), то получаем $\tan \alpha = 1$. Отсюда следует, что угол $\alpha$ равен $45^\circ$.