Номер 4, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Что такое натуральный логарифм?

Что такое натуральный логарифм?

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. Число $e$ (также известное как число Эйлера) является фундаментальной математической константой. Это иррациональное число, приблизительное значение которого равно $2.71828$.

Натуральный логарифм числа $x$ обозначается как $\ln(x)$. Это стандартное сокращение для логарифма по основанию $e$, то есть, по определению: $$ \ln(x) = \log_e(x) $$

Основное определение натурального логарифма связывает его с экспоненциальной функцией. Выражение $y = \ln(x)$ эквивалентно выражению $e^y = x$. Таким образом, натуральный логарифм является функцией, обратной к экспоненциальной функции $f(x) = e^x$. Он отвечает на вопрос: «В какую степень необходимо возвести основание $e$, чтобы получить число $x$?»

Примеры:

• $\ln(1) = 0$, поскольку $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$, поскольку $e^1 = e$.
• $\ln(e^2) = 2$, поскольку по определению это степень, в которую нужно возвести $e$, чтобы получить $e^2$.
• $\ln(7.389) \approx 2$, поскольку $e^2 \approx 7.389$.

Геометрическая интерпретация:

Натуральный логарифм числа $a$ (где $a > 0$) можно определить как площадь под кривой графика функции $y = 1/t$ на отрезке от $1$ до $a$. Математически это выражается через определенный интеграл: $$ \ln(a) = \int_1^a \frac{1}{t} dt $$ Это определение особенно важно в математическом анализе, так как оно позволяет строго определить логарифм и доказать его свойства.

Свойства натурального логарифма:

Так как натуральный логарифм является частным случаем логарифмической функции, он обладает всеми её свойствами. Для любых положительных чисел $x$ и $y$ и любого действительного числа $p$:

• Свойство произведения: $\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$
• Свойство частного: $\ln(x / y) = \ln(x) - \ln(y)$
• Свойство степени: $\ln(x^p) = p \cdot \ln(x)$

Кроме того, справедливы ключевые тождества, связывающие логарифм и экспоненту:

• $e^{\ln(x)} = x$ для всех $x > 0$
• $\ln(e^x) = x$ для всех действительных $x$

Применение:

Натуральные логарифмы играют ключевую роль во многих областях науки и инженерии, поскольку они естественным образом возникают при описании процессов, скорость изменения которых пропорциональна текущему значению величины (экспоненциальный рост или убывание).

• В математике и физике: решение дифференциальных уравнений, описание радиоактивного распада, термодинамические процессы.
• В финансах: расчет непрерывно начисляемых сложных процентов.
• В биологии и химии: моделирование роста популяций, кинетика химических реакций.
• В теории информации и информатике: измерение количества информации, анализ сложности алгоритмов.

Ответ: Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$), который обозначается как $\ln(x)$. Он является обратной функцией к экспоненциальной функции $e^x$ и широко применяется для моделирования процессов экспоненциального роста и убывания в различных областях науки и техники.