Номер 4, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Перечислите основные методы решения логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Существует несколько основных методов их решения.

1. Использование определения логарифма

Этот метод применяется для простейших логарифмических уравнений вида $\log_a f(x) = b$. Согласно определению логарифма, такое уравнение равносильно уравнению $f(x) = a^b$ при выполнении условий области допустимых значений (ОДЗ): $a > 0$, $a \ne 1$, и $f(x) > 0$. После нахождения корней уравнения $f(x) = a^b$ необходимо проверить, удовлетворяют ли они условию $f(x) > 0$.

Пример: $\log_3(2x - 5) = 2$.

Решение:

По определению логарифма переходим к уравнению:

$2x - 5 = 3^2$

$2x - 5 = 9$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным: $2x - 5 > 0$.

Подставляем найденный корень: $2 \cdot 7 - 5 = 14 - 5 = 9 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 7

2. Метод потенцирования

Этот метод используется для уравнений вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Потенцирование — это переход от равенства логарифмов к равенству выражений под ними. Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Достаточно проверить выполнение условия только для одной из функций ($f(x)$ или $g(x)$, обычно для той, что проще), так как из равенства $f(x) = g(x)$ следует, что если одна из них положительна, то и вторая тоже.

Пример: $\log_{0.5}(3x - 1) = \log_{0.5}(x + 7)$.

Решение:

Приравниваем выражения под знаками логарифмов:

$3x - 1 = x + 7$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим ОДЗ. Выберем более простое выражение, например, $x + 7 > 0$.

Подставляем найденный корень: $4 + 7 = 11 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 4

3. Метод введения новой переменной (замены)

Если уравнение можно привести к алгебраическому уравнению относительно $\log_a x$, используется метод замены. Часто это приводит к квадратному уравнению.

Пример: $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.

Решение:

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполняем обратную замену:

1) $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = 2 \implies x_2 = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 10; 100

4. Метод логарифмирования

Этот метод применяется к уравнениям, в которых переменная находится и в основании, и в показателе степени, например, $f(x)^{g(x)} = h(x)$. Обе части уравнения логарифмируют по некоторому удобному основанию. Важно помнить, что логарифмировать можно только положительные выражения.

Пример: $x^{\log_5 x} = 125$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$. При этом левая и правая части уравнения положительны, поэтому можно их логарифмировать. Прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(125)$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a b$:

$(\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = \log_5(5^3)$

$(\log_5 x)^2 = 3$

Отсюда получаем два случая:

1) $\log_5 x = \sqrt{3} \implies x_1 = 5^{\sqrt{3}}$.

2) $\log_5 x = -\sqrt{3} \implies x_2 = 5^{-\sqrt{3}} = \frac{1}{5^{\sqrt{3}}}$.

Оба корня положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5^{\sqrt{3}}$; $5^{-\sqrt{3}}$

5. Метод приведения к одному основанию

Если в уравнении встречаются логарифмы с разными основаниями, их можно привести к одному основанию с помощью формулы перехода: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Пример: $\log_3 x + \log_9 x + \log_{81} x = 7$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$

$\log_{81} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 81} = \frac{\log_3 x}{4}$

Подставляем в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{4}\log_3 x = 7$

Выносим $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 7$

$\log_3 x \cdot (\frac{4+2+1}{4}) = 7$

$\log_3 x \cdot \frac{7}{4} = 7$

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 81

6. Функционально-графический метод

Иногда уравнение невозможно решить аналитически. В таких случаях можно представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$, исследовать функции в левой и правой частях на монотонность, ограниченность и т.д. Если, например, одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение может иметь не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором.

Пример: $\log_2(x+1) = 3 - x$.

Решение:

ОДЗ: $x+1 > 0 \implies x > -1$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2(x+1)$ и $g(x) = 3 - x$.

Функция $f(x)$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.

Функция $g(x)$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Попробуем найти его подбором.

Пусть $x=1$: $\log_2(1+1) = \log_2 2 = 1$; $3-1 = 2$. $1 \ne 2$.

Пусть $x=2$: $\log_2(2+1) = \log_2 3$; $3-2=1$. $\log_2 3 \ne 1$.

Пусть $x=3$: $\log_2(3+1) = \log_2 4 = 2$; $3-3=0$. $2 \ne 0$.

Давайте вернемся и проверим значение $x=1$ еще раз. $\log_2(1+1) = 1$, $3-1=2$. Не подходит.

Попробуем $x=0$: $\log_2(0+1) = \log_2 1 = 0$; $3-0=3$. $0 \ne 3$.

Что-то не так. Давайте проверим значение $x=1$ в похожем уравнении, например $\log_2 x = 3-x$. Тогда при $x=2$ будет $\log_2 2 = 1$ и $3-2=1$. Корень $x=2$.

Для исходного уравнения $\log_2(x+1) = 3-x$ подберем корень. При $x=1.5$ (примерно) $\log_2(2.5) \approx 1.3$, $3-1.5 = 1.5$. Близко.

Попробуем целые числа. Пусть $x=1$: $f(1) = \log_2(2)=1$, $g(1)=3-1=2$. Левая часть меньше правой.

Пусть $x=2$: $f(2) = \log_2(3) \approx 1.58$, $g(2)=3-2=1$. Левая часть больше правой.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, и при $x=1$ $f(1)<g(1)$, а при $x=2$ $f(2)>g(2)$, то корень находится в интервале $(1, 2)$. Этот корень, скорее всего, иррационален и не может быть найден простым подбором. Но сам метод заключается в этом.

Возьмем другой, более удачный пример для демонстрации метода.

Новый пример: $\log_3 x = 4 - x$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

$f(x) = \log_3 x$ — строго возрастающая функция.

$g(x) = 4 - x$ — строго убывающая функция.

Уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Пусть $x=3$: $\log_3 3 = 1$; $4-3=1$. Равенство верное.

Следовательно, $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 3