Номер 2, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Можно ли утверждать, что уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Нет, в общем случае утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы выяснить, равносильны ли данные уравнения, необходимо сравнить их области допустимых значений (ОДЗ) и множества решений.

ОДЗ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ определяется условиями существования логарифмов. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому ОДЗ задается системой неравенств: $$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

В то же время, ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$ включает все значения $x$, для которых определены обе функции $f(x)$ и $g(x)$, без требования их положительности. Таким образом, ОДЗ логарифмического уравнения является подмножеством ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$, причём часто — строгим подмножеством.

Из-за этого различия в ОДЗ уравнения не всегда равносильны. Любой корень $x_0$ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Это следует из свойства монотонности (взаимной однозначности) логарифмической функции. Однако обратное утверждение не всегда верно. Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь корни, при которых $f(x)$ и $g(x)$ отрицательны или равны нулю. Такие корни называются посторонними для исходного логарифмического уравнения, так как при этих значениях $x$ логарифмы не определены.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть дано уравнение $\log_2(x) = \log_2(x^2 - 2)$.

Его ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \end{cases} \implies x \in (\sqrt{2}, +\infty) $$

Решим уравнение $x = x^2 - 2$, которое получается после снятия логарифмов (потенцирования).

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь сравним эти корни с ОДЗ логарифмического уравнения ($x > \sqrt{2}$):

- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{2}$, следовательно, это корень исходного уравнения.

- Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1$ не больше $\sqrt{2}$), следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение $\log_2(x) = \log_2(x^2 - 2)$ имеет единственный корень: $x = 2$.

При этом уравнение $x = x^2 - 2$ имеет два корня: $x=2$ и $x=-1$.

Поскольку множества решений ($\{2\}$ и $\{2, -1\}$) не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Равносильным для уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ является переход к системе, которая включает в себя проверку ОДЗ: $$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ Достаточно проверить положительность только одной из функций (обычно выбирают ту, что проще), так как из равенства $f(x)=g(x)$ автоматически следует положительность и второй функции.

Ответ: Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя. Равносильность нарушается из-за того, что область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического уравнения (требующая, чтобы $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$) строже, чем ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$. В результате у уравнения $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни, которые не являются решениями исходного логарифмического уравнения.