Номер 2, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. При каких значениях x верно равенство:

a) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$;

б) $\log_3 x^2 = -2 \log_3 x$;

в) $\log_3 x^2 = 2 \log_3 |x|$?

Для решения данных задач необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ) для каждой части равенства, а затем проанализировать или решить уравнение в этой области.

Ключевым моментом является различие в областях определения выражений $ \log_a f(x) $ и $ \log_a (f(x)^2) $. Первое определено при $ f(x) > 0 $, а второе — при $ f(x) \neq 0 $. Свойство $ \log_a (b^{2k}) = 2k \log_a |b| $ является обобщением свойства степени логарифма для четных показателей.

а) $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного равенства. Для выражения $ \log_3 x^2 $ в левой части необходимо, чтобы $ x^2 > 0 $, что выполняется для всех $ x \neq 0 $. Для выражения $ 2 \log_3 x $ в правой части необходимо, чтобы $ x > 0 $. Общей областью допустимых значений является пересечение этих двух условий, то есть $ x > 0 $.

На этой области ($ x > 0 $) справедливо логарифмическое тождество $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $. Поскольку для $ x > 0 $ верно, что $ |x| = x $, то общая формула $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 |x| $ превращается в данное равенство. Таким образом, равенство верно для всех $ x $ из области его определения.

Ответ: $ x \in (0, +\infty) $.

б) $ \log_3 x^2 = -2 \log_3 x $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения такая же, как и в пункте а), то есть $ x > 0 $. На этой области мы можем использовать тождество $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 x $ и подставить его в исходное уравнение:

$ 2 \log_3 x = -2 \log_3 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 2 \log_3 x + 2 \log_3 x = 0 $

$ 4 \log_3 x = 0 $

$ \log_3 x = 0 $

По определению логарифма, это означает, что $ x = 3^0 $, то есть $ x = 1 $. Найденное значение $ x = 1 $ принадлежит ОДЗ ($ 1 > 0 $), следовательно, является решением.

Ответ: $ x = 1 $.

в) $ \log_3 x^2 = 2 \log_3 |x| $

Найдем ОДЗ. Для левой части $ \log_3 x^2 $ требуется $ x^2 > 0 $, то есть $ x \neq 0 $. Для правой части $ 2 \log_3 |x| $ требуется $ |x| > 0 $, что также означает $ x \neq 0 $. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $ x \neq 0 $.

Рассмотрим само равенство. Оно представляет собой фундаментальное свойство логарифма для четной степени. Мы можем доказать это, представив $ x^2 $ как $ |x|^2 $. Тогда левая часть примет вид:

$ \log_3 x^2 = \log_3 (|x|^2) $

Поскольку для любого $ x $ из ОДЗ ($ x \neq 0 $) выражение $ |x| $ строго положительно, мы можем применить свойство вынесения показателя степени из-под знака логарифма:

$ \log_3 (|x|^2) = 2 \log_3 |x| $

Таким образом, левая часть тождественно равна правой для всех значений $ x $ из области допустимых значений. Следовательно, равенство верно для всех $ x \neq 0 $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ (или $ x \neq 0 $).