Номер 1, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Как связаны между собой графики функций:

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$;

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$;

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$;

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$;

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3(x - 2)$?

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$

Функции $y = a^x$ (показательная) и $y = \log_a x$ (логарифмическая) с одинаковым основанием $a$ являются взаимно обратными. В данном случае основание $a = 2$. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Таким образом, график функции $y = \log_2 x$ получается из графика функции $y = 2^x$ путем симметричного отражения относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики данных функций являются взаимно обратными и симметричны относительно прямой $y = x$.

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$

Запись $y = \lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Как и в предыдущем пункте, мы имеем дело с показательной и логарифмической функциями с одинаковым основанием $a = 10$. Эти функции являются взаимно обратными. Следовательно, их графики симметричны друг другу относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики данных функций являются взаимно обратными и симметричны относительно прямой $y = x$.

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$

Для построения графика функции $y = -f(x)$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $f(x) = \log_3 x$. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_3 x$ соответствует точка $(x_0, -y_0)$ на графике $y = -\log_3 x$. Таким образом, график функции $y = -\log_3 x$ получается из графика $y = \log_3 x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (Ox).

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг выполняется вверх, если $c < 0$ — вниз. В данном случае $f(x) = \log_3 x$ и $c = 2$. Это означает, что для получения графика $y = \log_3 x + 2$ нужно сдвинуть график $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График функции $y = \log_3 x + 2$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3(x - 2)$

График функции $y = f(x - c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг выполняется вправо, если $c < 0$ — влево. В данном случае $f(x) = \log_3 x$ и $c = 2$. Значит, для получения графика $y = \log_3(x - 2)$ нужно сдвинуть график $y = \log_3 x$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = \log_3(x - 2)$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).