Номер 2, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Приведите два примера, когда $\log_a b$ – рациональное число.

Логарифм $\log_a b$ является рациональным числом, если его значение можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Это условие выполняется тогда, когда основание логарифма $a$ и число под знаком логарифма $b$ можно представить в виде степеней одного и того же числа $c$ с целыми показателями. То есть, если существуют такое число $c > 0, c \neq 1$ и целые числа $m$ и $n$ ($m \neq 0$) такие, что $a = c^m$ и $b = c^n$, то логарифм будет рациональным числом:
$\log_a b = \log_{c^m} (c^n) = \frac{n}{m} \log_c c = \frac{n}{m}$.
Результат $\frac{n}{m}$ является рациональным числом по определению.

Пример 1

Рассмотрим логарифм $\log_2 8$. По определению логарифма, $\log_a b = x$ тогда и только тогда, когда $a^x = b$. В нашем случае основание $a=2$ и число $b=8$. Нам нужно найти такое число $x$, что $2^x = 8$. Поскольку $8$ это $2$ в третьей степени ($8 = 2^3$), то $x=3$. Число $3$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Ответ: $\log_2 8 = 3$.

Пример 2

Рассмотрим логарифм $\log_{64} 4$. Здесь основание $a=64$ и число $b=4$. Нам необходимо найти такое $x$, для которого выполняется равенство $64^x = 4$. Представим основание $64$ как степень числа $4$: $64 = 4^3$. Тогда наше уравнение принимает вид $(4^3)^x = 4$. Используя свойство степеней $(c^m)^n = c^{mn}$ и учитывая, что $4 = 4^1$, получаем $4^{3x} = 4^1$. Приравнивая показатели степеней, имеем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$. Число $\frac{1}{3}$ является рациональным.

Ответ: $\log_{64} 4 = \frac{1}{3}$.