Номер 6, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В каком случае график показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \to +\infty$, а в каком — при $x \to -\infty$?

Поведение показательной функции $y = a^x$ (где по определению $a > 0$ и $a \neq 1$) и наличие у её графика горизонтальной асимптоты зависит от значения основания $a$. Горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ является прямая $y=c$, если предел функции при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, равен константе $c$. Для функции $y = a^x$ такой асимптотой является прямая $y=0$ (ось абсцисс). Рассмотрим, при каких условиях это происходит.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$
График функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$, если предел $\lim_{x \to +\infty} a^x$ существует и является конечным числом. Это условие выполняется, когда основание степени $a$ находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция является убывающей. При неограниченном увеличении аргумента $x$, значение функции $a^x$ стремится к нулю. Например, для $y = (0.5)^x$, при $x=2$ $y=0.25$, а при $x=10$ $y \approx 0.001$. Математически это выражается как: $$ \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \quad \text{при} \quad 0 < a < 1 $$ Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \rightarrow +\infty$.
Ответ: График показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow +\infty$ в случае, когда основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

В каком случае график имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$
График функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$, если предел $\lim_{x \to -\infty} a^x$ существует и является конечным числом. Это условие выполняется, когда основание степени $a$ больше единицы, то есть $a > 1$. В этом случае показательная функция является возрастающей. Когда $x$ стремится к минус бесконечности (т.е. принимает большие по модулю отрицательные значения), значение функции $a^x$ стремится к нулю. Это можно увидеть, представив $a^x$ как $\frac{1}{a^{-x}}$. Так как $x \rightarrow -\infty$, то $-x \rightarrow +\infty$, знаменатель $a^{-x}$ неограниченно растет, и вся дробь стремится к нулю. Математически это выражается как: $$ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 \quad \text{при} \quad a > 1 $$ Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \rightarrow -\infty$.
Ответ: График показательной функции $y = a^x$ имеет горизонтальную асимптоту при $x \rightarrow -\infty$ в случае, когда основание $a$ удовлетворяет условию $a > 1$.