Номер 1, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Объясните, какой смысл придаётся в математике символу $a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число. Рассмотрите каждый из указанных ниже случаев:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = 1$;

г) $a = 0$;

д) $a < 0$.

Степень с иррациональным показателем $a^\alpha$ определяется через предел. Пусть $\alpha$ — иррациональное число, и пусть $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n, \dots$ — последовательность рациональных чисел, такая, что $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$. Тогда степень $a^\alpha$ определяется как предел последовательности $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots, a^{r_n}, \dots$:

$$a^\alpha = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$$

Для существования и однозначности этого предела (независимости от выбора последовательности $r_n$) на основание $a$ накладываются определённые ограничения. Альтернативным и более строгим способом определения для $a > 0$ является формула с использованием показательной функции и натурального логарифма:

$$a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$$

Рассмотрим различные случаи для основания $a$.

а) a > 1
В этом случае показательная функция $f(x) = a^x$ является возрастающей для рациональных $x$. Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Можно выбрать две последовательности рациональных чисел: возрастающую $(r_n')$ и убывающую $(r_n'')$, обе сходящиеся к $\alpha$ (например, десятичные приближения $\alpha$ с недостатком и с избытком). Так как $a > 1$ и функция $a^x$ возрастает, последовательность $a^{r_n'}$ будет возрастающей, а последовательность $a^{r_n''}$ — убывающей. Обе эти последовательности ограничены и сходятся к одному и тому же положительному действительному числу. Этот общий предел и принимается за значение $a^\alpha$. Число $a^\alpha$ является единственным числом, которое больше любого числа вида $a^r$ для всех рациональных $r < \alpha$ и меньше любого числа вида $a^s$ для всех рациональных $s > \alpha$. Используя формулу с натуральным логарифмом: так как $a > 1$, то $\ln a > 0$. Выражение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ корректно определено и является положительным действительным числом.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a > 1$ и иррациональном $\alpha$ означает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это значение однозначно определено.

б) 0 < a < 1
В этом случае показательная функция $f(x) = a^x$ является убывающей для рациональных $x$. Аналогично предыдущему случаю, мы определяем $a^\alpha$ как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n \to \alpha$. Из-за того, что функция убывающая, если взять возрастающую последовательность рациональных чисел $r_n' \to \alpha$, то последовательность $a^{r_n'}$ будет убывающей. Если же взять убывающую последовательность $r_n'' \to \alpha$, то $a^{r_n''}$ будет возрастающей. Обе последовательности также сходятся к одному и тому же положительному действительному числу, которое и является значением $a^\alpha$. Используя формулу с натуральным логарифмом: так как $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$. Выражение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также корректно определено и является положительным действительным числом.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $0 < a < 1$ и иррациональном $\alpha$ означает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это значение однозначно определено.

в) a = 1
Для любого рационального числа $r$ значение $1^r = 1$. Пусть $r_n$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу $\alpha$. Тогда последовательность $a^{r_n} = 1^{r_n}$ является постоянной последовательностью, все члены которой равны 1. Предел такой последовательности равен 1.$$1^\alpha = \lim_{n \to \infty} 1^{r_n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$$По формуле с логарифмом: $\ln 1 = 0$, поэтому $1^\alpha = e^{\alpha \ln 1} = e^{\alpha \cdot 0} = e^0 = 1$.
Ответ: Символ $1^\alpha$ при иррациональном $\alpha$ по определению равен 1.

г) a = 0
Степень $0^x$ определена для положительных рациональных показателей $x > 0$, и в этом случае $0^x = 0$. Для отрицательных рациональных показателей $x < 0$ она не определена ($0^x = 1/0^{-x}$ приводит к делению на ноль).Рассмотрим два случая для иррационального $\alpha$:
1. Если $\alpha > 0$, то можно выбрать последовательность положительных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Тогда для каждого члена последовательности $0^{r_n} = 0$. Предел такой последовательности равен нулю: $\lim_{n \to \infty} 0^{r_n} = 0$. Поэтому для иррационального $\alpha > 0$ полагают $0^\alpha = 0$.
2. Если $\alpha < 0$, то можно выбрать последовательность отрицательных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Для каждого $r_n < 0$ выражение $0^{r_n}$ не определено. Следовательно, невозможно построить последовательность и найти её предел.
Ответ: Если $\alpha$ — положительное иррациональное число, то $0^\alpha = 0$. Если $\alpha$ — отрицательное иррациональное число, то выражение $0^\alpha$ не определено.

д) a < 0
В этом случае определение степени с иррациональным показателем сталкивается с непреодолимыми трудностями в рамках действительных чисел. Степень отрицательного числа $a^r$ с рациональным показателем $r = p/q$ (где $p, q$ — целые, $q \neq 0$) определена в действительных числах не для всех $r$. Она определена только тогда, когда знаменатель $q$ несократимой дроби $p/q$ является нечётным числом. Любое иррациональное число $\alpha$ можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами как с нечётными, так и с чётными знаменателями. Например, для $\alpha = \sqrt{2}$ можно взять приближение $r = 14/10 = 7/5$, тогда $(-2)^{7/5} = \sqrt[5]{(-2)^7}$ — действительное число. Но можно взять и приближение $r = 141/100$, тогда $(-2)^{141/100} = \sqrt[100]{(-2)^{141}}$ не является действительным числом, так как это корень чётной степени из отрицательного числа. Поскольку в любой окрестности иррационального числа $\alpha$ найдутся рациональные числа $r$, для которых $a^r$ не является действительным числом, то последовательность $a^{r_n}$ не может быть корректно определена в действительных числах. Следовательно, её предел не существует в множестве действительных чисел. Определение через логарифм $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также не работает, поскольку логарифм отрицательного числа $\ln a$ не определён в действительных числах.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a < 0$ и иррациональном $\alpha$ в математике действительных чисел не определён.