Номер 3, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сколько значений имеет $\sqrt[3]{8i}$? Верно ли, что одним из этих значений является $2i$?

Сколько значений имеет $\sqrt[3]{8i}$?

Нахождение корня n-ой степени из комплексного числа $z$ эквивалентно решению уравнения $w^n = z$. В нашем случае необходимо найти $\sqrt[3]{8i}$, что соответствует решению уравнения $w^3 = 8i$.

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учётом их кратности). Уравнение $w^3 - 8i = 0$ является полиномиальным уравнением третьей степени ($n=3$), следовательно, оно имеет ровно три комплексных корня.

Таким образом, выражение $\sqrt[3]{8i}$ имеет 3 различных значения в поле комплексных чисел. Это также следует из формулы Муавра для извлечения корней из комплексного числа, которая для каждого $k$ от $0$ до $n-1$ дает уникальное значение корня. При $n=3$ мы получаем три различных значения для $k=0, 1, 2$.

Ответ: Выражение имеет 3 значения.

Верно ли, что одним из этих значений является 2i?

Чтобы проверить, является ли $2i$ одним из значений $\sqrt[3]{8i}$, достаточно возвести $2i$ в третью степень и проверить, равно ли это значение $8i$.

Выполним вычисление:

$(2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot i^3$

Мы знаем, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$. Тогда $i^3$ можно вычислить как $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$8 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$

Поскольку $(2i)^3 = -8i$, а не $8i$, то число $2i$ не является кубическим корнем из $8i$. Фактически, $2i$ является одним из кубических корней из $-8i$.

Для полной уверенности можно найти все три значения $\sqrt[3]{8i}$. Для этого представим число $8i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $|8i| = 8$, а аргумент $\arg(8i) = \frac{\pi}{2}$.

$8i = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

По формуле Муавра для корней, три значения $\sqrt[3]{8i}$ равны:

$w_0 = \sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\pi/2}{3} + i\sin\frac{\pi/2}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \sqrt{3} + i$

$w_1 = 2\left(\cos\frac{\pi/2+2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/2+2\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -\sqrt{3} + i$

$w_2 = 2\left(\cos\frac{\pi/2+4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/2+4\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = 2(0 - i) = -2i$

Как видим, ни один из корней ($\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$, $-2i$) не равен $2i$.

Ответ: Нет, неверно.