Номер 1, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какие из перечисленных ниже степенных функций убывают, какие — возрастают, а какие не являются монотонными:

$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0.6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$?

Для определения монотонности степенной функции $y = x^p$ необходимо проанализировать ее показатель степени $p$ и область определения. Монотонность функции определяется знаком ее производной $y' = p \cdot x^{p-1}$.

• Если $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает.
• Если $y' < 0$ на всей области определения, функция убывает.
• Если производная меняет знак на области определения, функция не является монотонной.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $p = \frac{2}{3} > 0$. Так как знаменатель показателя (3) — нечетное число, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$.

Так как на разных частях области определения функция ведет себя по-разному (убывает, а затем возрастает), она не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Показатель степени $p = \frac{3}{2} > 0$. Так как знаменатель показателя (2) — четное число, функция определена только для неотрицательных значений аргумента: $D(y) = [0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
На всей области определения $[0; +\infty)$ имеем $\sqrt{x} \ge 0$, поэтому $y' \ge 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастает.

$y = x^{-0.6}$

Представим показатель в виде обыкновенной дроби: $p = -0.6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$. Показатель отрицательный. Так как знаменатель (5) — нечетное число, область определения — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -0.6x^{-0.6-1} = -0.6x^{-1.6} = -\frac{0.6}{x^{1.6}} = -\frac{0.6}{x^{8/5}} = -\frac{0.6}{(\sqrt[5]{x})^8}$.
Знаменатель $(\sqrt[5]{x})^8$ всегда положителен при $x \neq 0$, так как любое ненулевое число в четной степени положительно.
Коэффициент $-0.6$ отрицателен, значит, $y' < 0$ на всей области определения.
Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Однако, чтобы быть монотонной на всей области определения, свойство убывания должно сохраняться для любых двух точек. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Имеем $x_1 < x_2$.
$y(-1) = (-1)^{-3/5} = (\sqrt[5]{-1})^ {-3} = (-1)^{-3} = -1$.
$y(1) = 1^{-3/5} = 1$.
Получаем, что $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции. Следовательно, функция не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{11}$

Показатель степени $p = 11$ — положительное нечетное целое число. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = 11x^{10}$.
Так как $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$, а $11 > 0$, то производная $y' \ge 0$ на всей области определения. $y'=0$ только в точке $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: возрастает.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $p = -11$ — отрицательное нечетное целое число. Область определения — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -11x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.
Знаменатель $x^{12}$ всегда положителен при $x \neq 0$. Коэффициент $-11$ отрицателен. Значит, $y' < 0$ на всей области определения.
Как и в случае с $y = x^{-0.6}$, функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, но не является монотонной на их объединении. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
$y(-1) = (-1)^{-11} = -1$.
$y(1) = 1^{-11} = 1$.
$x_1 < x_2$, но $y(x_1) < y(x_2)$. Функция не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Переведем показатель в неправильную дробь: $p = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Показатель отрицательный. Так как знаменатель (7) — нечетное число, область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную: $y' = -\frac{16}{7}x^{-\frac{16}{7}-1} = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}} = -\frac{16}{7\sqrt[7]{x^{23}}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$, $\sqrt[7]{x^{23}} > 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на интервале $(0; +\infty)$.
• При $x < 0$, $\sqrt[7]{x^{23}} < 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty; 0)$.

Так как на одной части области определения функция возрастает, а на другой убывает, она не является монотонной.

Ответ: не является монотонной.

Итоговая классификация функций:

Возрастают: $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{11}$.

Убывают: таких функций среди перечисленных нет.

Не являются монотонными: $y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{-0.6}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-2\frac{2}{7}}$.