Номер 1, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют корнем n-й степени из комплексного числа?

1.

Корнем $n$-й степени (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из комплексного числа $z$ называется любое комплексное число $w$, которое при возведении в степень $n$ дает число $z$. То есть, $w$ является корнем $n$-й степени из $z$, если выполняется равенство: $w^n = z$

Обозначается корень $n$-й степени как $\sqrt[n]{z}$.

В отличие от действительных чисел, в поле комплексных чисел корень $n$-й степени из любого ненулевого комплексного числа $z$ всегда существует и имеет ровно $n$ различных значений. Для нахождения этих значений удобнее всего использовать тригонометрическую (или показательную) форму комплексного числа.

Пусть дано комплексное число $z$ в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

где $r = |z|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

Мы ищем его корни $w_k$ также в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$

Согласно определению, должно выполняться $w^n = z$. Применяя формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, получаем: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$

Приравнивая это выражение к $z$, получаем: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на целое число, кратное $2\pi$. Отсюда следуют два условия:

1. $\rho^n = r \implies \rho = \sqrt[n]{r}$ (здесь $\sqrt[n]{r}$ — это арифметический корень из положительного действительного числа $r$).

2. $n\theta = \varphi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда $\theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Подставляя различные целые значения $k$, мы будем получать различные значения для аргумента $\theta_k$. Однако, различных значений корня будет ровно $n$. Это происходит потому, что при $k = n$ аргумент будет равен $\frac{\varphi + 2\pi n}{n} = \frac{\varphi}{n} + 2\pi$, что соответствует тому же комплексному числу, что и при $k=0$. Таким образом, для получения всех $n$ различных корней достаточно взять $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Итак, все $n$ корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ находятся по формуле: $w_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Геометрически все $n$ корней располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[n]{r}$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$ называют такое комплексное число $w$, которое удовлетворяет уравнению $w^n = z$. Для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени.