Номер 5, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Вычислите $8^{\frac{2}{3}}$, описав последовательность своих действий.

Для вычисления значения выражения $8^{\frac{2}{3}}$ необходимо использовать свойства степени с рациональным показателем. Задача может быть решена несколькими способами, каждый из которых представляет собой определенную последовательность действий.

Способ 1: Извлечение корня с последующим возведением в степень

Данный метод основан на свойстве $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=8$, $m=2$, $n=3$.

Действие 1: Вычислить корень, степень которого равна знаменателю дроби-показателя (3), из основания (8).
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2 \times 2 \times 2 = 8$.

Действие 2: Полученный результат (2) возвести в степень, равную числителю дроби-показателя (2).
$2^2 = 4$.

Способ 2: Возведение в степень с последующим извлечением корня

Этот метод основан на эквивалентном свойстве $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Действие 1: Возвести основание (8) в степень, равную числителю дроби-показателя (2).
$8^2 = 64$.

Действие 2: Извлечь из полученного результата (64) корень, степень которого равна знаменателю дроби-показателя (3).
$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4 \times 4 \times 4 = 64$.

Способ 3: Использование свойств степеней

Этот метод заключается в упрощении выражения через преобразование основания.

Действие 1: Представить основание 8 в виде степени. Поскольку $2^3 = 8$, мы можем заменить 8 на $2^3$.
$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}$.

Действие 2: Применить свойство возведения степени в степень $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$. Для этого нужно перемножить показатели степеней.
$(2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$.

Действие 3: Вычислить полученное значение.
$2^2 = 4$.

Все три последовательности действий приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $4$