Номер 4, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Какие из указанных ниже соотношений являются верными, а какие — нет ($a \ge 0$):

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$;

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$;

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}?$

Для решения этой задачи мы будем использовать основное свойство корней: для любых натуральных чисел $n \ge 2$, $m \ge 2$ и любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Также напомним, что запись $\sqrt{a}$ означает квадратный корень, то есть корень второй степени: $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$.

а) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[15]{a}$

Преобразуем левую часть равенства, используя свойство корня из корня:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$

Сравнивая результат с правой частью, видим, что $\sqrt[15]{a} = \sqrt[15]{a}$.

Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[8]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a} = \sqrt[15]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[15]{a} \neq \sqrt[8]{a}$ (равенство истинно только для $a=0$ и $a=1$, но не для всех $a \ge 0$).

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

в) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[6]{a}$

Преобразуем левую часть, учитывая, что $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[6]{a}$.

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[7]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравниваем результат с правой частью: $\sqrt[10]{a} \neq \sqrt[7]{a}$.

Следовательно, соотношение является неверным.

Ответ: неверно.

д) $\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[10]{a}$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$

Сравнивая результат с правой частью, видим, что $\sqrt[10]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Следовательно, соотношение является верным.

Ответ: верно.