Номер 6, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Дано соотношение $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?

Приведите пример, когда оно является верным равенством
Равенство $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$ будет верным, когда подкоренное выражение в правой части неотрицательно, то есть при $a \ge 0$.
Возьмем в качестве примера $a = 64$.
Подставим это значение в левую и правую части соотношения:
Левая часть: $\sqrt[6]{64^2} = \sqrt[6]{4096}$. Поскольку $4^6 = 4096$, то $\sqrt[6]{4096} = 4$.
Правая часть: $\sqrt[3]{64}$. Поскольку $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Так как левая и правая части равны ($4 = 4$), то при $a=64$ равенство является верным.
Ответ: равенство верно, например, при $a=64$.

и пример, когда не является
Равенство не будет верным, если $a < 0$. Это связано с тем, что корень четной степени (в левой части) по определению является неотрицательным числом, в то время как корень нечетной степени из отрицательного числа (в правой части) будет отрицательным.
Возьмем в качестве примера $a = -8$.
Подставим это значение в обе части:
Левая часть: $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Правая часть: $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Так как $2 \neq -2$, то при $a=-8$ равенство не является верным.
Ответ: равенство неверно, например, при $a=-8$.

Как должна выглядеть правая часть соотношения, чтобы оно было верным равенством?
Чтобы соотношение стало верным равенством для всех действительных значений $a$, необходимо преобразовать его левую часть и потребовать, чтобы правая часть была ей тождественно равна.
Преобразуем левую часть, используя свойства степеней и корней:$\sqrt[6]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{6}}$
Используя свойство $x^{mn} = (x^m)^n$, можно записать:$(a^2)^{\frac{1}{6}} = (a^2)^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2}}$
По определению корня из квадрата числа, $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль $a$).
Таким образом, левая часть тождественно равна $\sqrt[3]{|a|}$ для любого действительного числа $a$.
Следовательно, чтобы исходное соотношение было верным равенством для всех $a$, его правая часть также должна быть равна $\sqrt[3]{|a|}$.
Исходное соотношение должно выглядеть так: $\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{|a|}$.
Ответ: правая часть соотношения должна выглядеть как $\sqrt[3]{|a|}$.