Номер 3, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Дано соотношение $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Приведите пример, когда оно является верным равенством, и пример, когда не является. Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Рассмотрим данное соотношение $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$. Основное свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ для чётного показателя корня $n$ справедливо только в том случае, когда $x$ и $y$ являются неотрицательными числами ($x \ge 0, y \ge 0$). В данной задаче показатель корня $n=6$ является чётным.

Область определения левой части, $\sqrt[6]{ab}$, задаётся условием $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака или хотя бы одно из них равно нулю.

Область определения правой части, $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$, задаётся более строгим условием: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, так как корень чётной степени из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел.

Приведите пример, когда оно является верным равенством

Равенство будет верным, когда обе его части определены и равны. Это происходит при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Возьмём в качестве примера $a = 64$ и $b = 1$. Оба числа неотрицательные.
Подставим значения в левую часть: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{64 \cdot 1} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Подставим значения в правую часть: $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{1} = 2 \cdot 1 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, равенство является верным.
Ответ: например, при $a = 64$ и $b = 1$ равенство является верным.

и пример, когда не является

Равенство не будет верным, если левая часть определена, а правая — нет. Это произойдёт, если $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $ab$ будет положительным, но извлечь корень шестой степени из отрицательных $a$ и $b$ по отдельности будет невозможно в действительных числах.
Возьмём в качестве примера $a = -1$ и $b = -64$.
Левая часть: $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{(-1) \cdot (-64)} = \sqrt[6]{64} = 2$. Левая часть определена.
Правая часть: $\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{-1} \cdot \sqrt[6]{-64}$. Правая часть не определена в множестве действительных чисел.
Поскольку правая часть не определена, равенство не является верным.
Ответ: например, при $a = -1$ и $b = -64$ равенство не является верным.

Как должна выглядеть правая часть соотношения при $ab > 0$, чтобы оно было верным равенством?

Условие $ab > 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак: либо оба положительные, либо оба отрицательные.
1. Если $a > 0$ и $b > 0$, то исходное равенство $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b}$ является верным.
2. Если $a < 0$ и $b < 0$, то $ab > 0$. Левая часть $\sqrt[6]{ab}$ определена. Чтобы правая часть также была определена и равна левой, необходимо брать корни из неотрицательных чисел. Для отрицательных $a$ и $b$ можно использовать их модули: $a = -|a|$ и $b = -|b|$. Тогда $ab = (-|a|) \cdot (-|b|) = |a| \cdot |b|$.
Левая часть равна $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a| \cdot |b|}$. По свойству корня для неотрицательных чисел, это выражение равно $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.
Чтобы объединить оба случая ($a,b > 0$ и $a,b < 0$), нужно использовать модуль в правой части. Тогда тождество, верное при любом $ab>0$, будет выглядеть так:
$\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$
Эта формула верна для любых $a$ и $b$ c одинаковым знаком. Если $a>0, b>0$, то $|a|=a, |b|=b$. Если $a<0, b<0$, то $|a|=-a, |b|=-b$, и $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{(-a)(-b)} = \sqrt[6]{|a||b|} = \sqrt[6]{|a|}\sqrt[6]{|b|}$.
Ответ: правая часть должна выглядеть как $\sqrt[6]{|a|} \cdot \sqrt[6]{|b|}$.