Номер 2, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Сформулируйте определение корня нечётной степени из отрицательного числа.

2.

Для формулировки определения корня нечётной степени из отрицательного числа необходимо рассмотреть свойства степенной функции с нечётным показателем.

Вспомним общее определение: корнем n-ой степени из числа a ($\sqrt[n]{a}$) называется такое число b, которое при возведении в степень n даёт число a. Это записывается так: $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a$.

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда показатель степени n — это нечётное натуральное число, большее единицы (т. е. $n = 3, 5, 7, \dots$), а подкоренное выражение a — отрицательное число ($a < 0$).

Степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем n обладает следующими свойствами:

• Она определена для всех действительных чисел.
• Её область значений — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.
• Она является строго возрастающей на всей числовой оси.

Из этих свойств следует, что для любого действительного числа a, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю, уравнение $x^n=a$ (при нечётном n) всегда имеет ровно один действительный корень.

Если число a отрицательно, то корень b также должен быть отрицательным, поскольку нечётная степень положительного числа — положительна, а нечётная степень отрицательного числа — отрицательна. Например, $(-2)^3 = -8$, в то время как $2^3 = 8$.

На основании этого формулируется следующее определение:

Определение: Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a называется такое отрицательное число b, n-ая степень которого равна a.

Формальная запись:

Пусть $n$ — нечётное натуральное число ($n = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{N}$), и $a$ — отрицательное действительное число ($a < 0$). Тогда корень нечётной степени n из a, обозначаемый как $\sqrt[n]{a}$, — это единственное действительное число b, удовлетворяющее равенству $b^n = a$. При этом число b также будет отрицательным ($b < 0$).

Пример:

Найдём корень кубический из -125, то есть $\sqrt[3]{-125}$.

Согласно определению, мы ищем такое число b, что $b^3 = -125$.

Этим числом является -5, поскольку $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Из определения вытекает важное свойство: для любого положительного числа $a > 0$ и любого нечётного натурального показателя n справедливо равенство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$.

Ответ: Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называется такое отрицательное число $b$, что его $n$-ая степень равна $a$. Формально: для нечётного натурального $n > 1$ и $a < 0$, выражение $\sqrt[n]{a} = b$ равносильно одновременному выполнению условий $b < 0$ и $b^n = a$.