Номер 3, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите пример возвратного уравнения и опишите алгоритм его решения.

Пример возвратного уравнения

Возвратным (или симметричным) уравнением называется уравнение вида $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$, в котором коэффициенты, равноудаленные от концов, равны, то есть $a_k = a_{n-k}$ для всех $k = 0, 1, \dots, n$.

Примером возвратного уравнения четвёртой степени является:

$2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты при старшей и младшей степенях равны ($a_4=a_0=2$), а также равны коэффициенты при $x^3$ и $x^1$ ($a_3=a_1=3$), что полностью соответствует определению возвратного уравнения.

Ответ: Примером возвратного уравнения является $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$.

Алгоритм его решения

Алгоритм решения возвратного уравнения четной степени вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ (при $a \neq 0$) состоит из следующих шагов:

1. Поскольку свободный член $a \neq 0$, то $x=0$ не является корнем уравнения. Это позволяет разделить обе части уравнения на $x^2$, не опасаясь потери корней.
2. После деления сгруппировать слагаемые, вынося за скобки общие коэффициенты, чтобы получить выражение вида $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$.
3. Ввести новую переменную $y = x + \frac{1}{x}$. Чтобы выразить через $y$ выражение в первых скобках, возведем замену в квадрат: $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$. Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
4. Подставить выражения с новой переменной в сгруппированное уравнение. Это приведет к квадратному уравнению относительно $y$: $a(y^2-2)+by+c=0$, которое можно переписать как $ay^2+by+(c-2a)=0$.
5. Решить полученное квадратное уравнение и найти его корни $y_1$ и $y_2$.
6. Выполнить обратную замену. Для каждого найденного значения $y$ решить соответствующее уравнение: $x + \frac{1}{x} = y_1$ и $x + \frac{1}{x} = y_2$. Эти уравнения легко сводятся к двум квадратным уравнениям: $x^2 - y_1x + 1 = 0$ и $x^2 - y_2x + 1 = 0$.
7. Корни, полученные на предыдущем шаге, и будут являться решениями исходного возвратного уравнения.

Продемонстрируем применение этого алгоритма на примере уравнения $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$:

1. Делим уравнение на $x^2$: $2x^2 + 3x - 16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$.

2. Группируем: $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 16 = 0$.

3. Вводим замену $y = x + \frac{1}{x}$, из которой следует $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

4. Подставляем в уравнение: $2(y^2 - 2) + 3y - 16 = 0$, что упрощается до $2y^2 + 3y - 20 = 0$.

5. Решаем квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 169$. Корни: $y_1 = \frac{-3+13}{4} = 2.5$, $y_2 = \frac{-3-13}{4} = -4$.

6. Выполняем обратную замену:

a) Для $y_1=2.5$: $x + \frac{1}{x} = 2.5 \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 0.5$.

б) Для $y_2=-4$: $x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$, $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: Алгоритм решения возвратного уравнения четвёртой степени заключается в делении уравнения на $x^2$ (где $x$ - переменная), введении замены $y = x + \frac{1}{x}$, решении полученного квадратного уравнения относительно $y$ и последующем нахождении $x$ через обратную замену. Решением уравнения $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$ по данному алгоритму являются корни $x \in \{2; 0.5; -2+\sqrt{3}; -2-\sqrt{3}\}$.