Номер 6, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В каком случае систему $\begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases}$ называют симметрической? В чём состоит идея решения симметрической системы?

В каком случае систему $\begin{cases} p(x, y) = a \\ q(x, y) = b \end{cases}$ называют симметрической?

Система уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ называется симметрической, если она не изменяется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ одновременно в каждом уравнении системы. Это означает, что для функций $p(x, y)$ и $q(x, y)$, являющихся левыми частями уравнений, должны выполняться тождества:

$p(x, y) = p(y, x)$

$q(x, y) = q(y, x)$

Например, система $\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$ является симметрической. Если поменять в ней $x$ и $y$ местами, получим систему $\begin{cases} y + x = 7 \\ y^2 + x^2 = 25 \end{cases}$, которая, очевидно, не отличается от исходной.

Важным свойством таких систем является то, что если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением системы, то и пара $(y_0, x_0)$ также является её решением.

Ответ: Систему называют симметрической, если при замене переменных $x$ и $y$ местами уравнения системы не изменяются, то есть $p(x, y) = p(y, x)$ и $q(x, y) = q(y, x)$.

В чём состоит идея решения симметрической системы?

Основная идея решения симметрических систем заключается во введении новых переменных, которые являются простейшими (элементарными) симметрическими многочленами от $x$ и $y$. Этими переменными являются сумма и произведение исходных переменных:

$u = x + y$

$v = xy$

Согласно основной теореме о симметрических многочленах, любой симметрический многочлен от $x$ и $y$ можно выразить через $u$ и $v$. Таким образом, исходную систему можно преобразовать в новую систему относительно переменных $u$ и $v$, которая часто оказывается проще.

Алгоритм решения выглядит следующим образом:

1. Выразить левые части уравнений системы $p(x, y)$ и $q(x, y)$ через новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$. Для этого могут понадобиться следующие тождества:
   • $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$
   • $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = u(u^2 - 3v)$
   • $x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (u^2-2v)^2 - 2v^2$
2. Решить полученную систему уравнений относительно $u$ и $v$. Пусть найдено одно или несколько решений вида $(u_0, v_0)$.
3. Для каждой найденной пары $(u_0, v_0)$ вернуться к исходным переменным, решив систему:

   $\begin{cases} x + y = u_0 \\ xy = v_0 \end{cases}$

4. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - u_0 t + v_0 = 0$.
5. Найти корни этого квадратного уравнения: $t_{1,2} = \frac{u_0 \pm \sqrt{u_0^2 - 4v_0}}{2}$.
6. Решениями исходной системы будут пары $(x, y)$, составленные из найденных корней: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Ответ: Идея решения состоит в замене переменных $x$ и $y$ на новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$. Исходная система преобразуется в систему относительно $u$ и $v$, которая, как правило, решается проще. После нахождения значений $u$ и $v$, исходные переменные $x$ и $y$ находятся как корни квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$.